Wykazać, że ciąg jest ograniczony. Sprawdzic monotoniczność Ciągi :/:

	n2−1
an=
	n!

Mam problem, jak udowodnić, że jest ograniczony i sprawdzić monotoniczność. Było jakaś reguła, ale niestety nei wiem jak :9

PW: Monotoniczność:

	3
(1) a0 = −1 < a1 = 0 < a2 =		.
	2

Wszystkie wyrazy począwszy od a₂ sa dodatnie, więc monotonicznośc można badać dzieląc dwa sąsiednie wyrazy:

	ak+1		(k+1)2 −1		k!		k2+2k
		=		·		=
	ak		(k+1)!		k2 − 1		(k+1)(k2−1)

Zbadajmy dla jakich k licznik jest mniejszy od mianownika: k²+2k < (k+1)(k²−1) ⇔ k²+2k < k³ − k + k² − 1 ⇔ k³ − 3k − 1 > 0 ⇔ k(k²−3) > 1 − nierówność ta w sposób oczywisty jest spełniona dla naturalnych k≥2. Pokazaliśmy, że dla k ≥ 2 jest ^a_k+1 < ^a_k. Odpowiedź na pytanie o monotoniczność: ciąg jest malejący począwszy od drugiego wyrazu (dla trzech początkowych − lub dwóch, jeśli nie bierzemy n=0 − spełniona jest nierówność (1)).

Ciągi :/: Co się stało z !? Nigdy tego nie czaiłem, tak to spoko, zrozumiałem dla mnie, ale co jest z tą silnią?

PW: Sie skróciło:

	k!		1
		=
	(k+1)!		k+1

(wszystkie czynniki od 1 do k uprościły się).

Ciągi :/:

	k!
tak tak, ale dlaczego mogłeś to pomnożyć przez		?
	k2−1

Ciągi :/: Dobra sorry.... wiem już wszystko