Sprawdzenie istnienia pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji w punkcie rafal01: Mam takie zadanie, że jest funkcja f(x)= ¹_{(2−x)(2−y)} i musze sprawdzić istnienie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu w punkcie (2,2). Oprócz tego zbadanie ciągłości w tym punkcie. Wiadomo, że funkcja dla x=2, y=2 przyjmuje wartość 0. Ciągłość udało mi się policzyć, dowieść, że nie zachodzi, ale nie do końca wiem jak z tymi pochodnymi. Obliczam wg definicji czyli df/dx i df/dy na zasadzie − lim x−>0 f(x+2,2)−f(2,2)/x. f(2,2) to 0, więc liczę granicę i wychodzi nieskończoność w obydwu przypadkach. Czy to wskazuje na to, że nie ma pochodnych w tym punkcie? Jak tak do dlaczego?

Gray: Jakim wzorem masz określoną funkcję f? To najważniejsze, a nie napisałeś tego dokładnie. Co to znaczy "Wiadomo, że funkcja dla x=2, y=2 przyjmuje wartość 0." Masz na myśli to: "Wiadomo, że na prostych x=2 oraz y=2 przyjmuje wartość 0"? Jeżeli tak, to ma pochodną cząstkową f'_x(2,2) równą 0; jeżeli nie to pochodna ta nie jest określona (nie da się jej obliczyć).

rafal01: funkcja f(x,y) ¹_{(2−x)(2−y)} (x,y): x≠2, y≠2 0, (x,y): x=2, y=2 W takim razie jak to wykazać?

Gray: Co? Że f'_x(2,2)=0? Przecież to napisałeś:

	f(x+2,2)−f(2,2)		0−0
limx→0		= limx→0		= 0.
	x		x

rafal01: no nie chyba. Przekształcając wychodzi po kolei lim x−>0 ¹_{(2−x−2)(2−2)*x} czyli wychodzi nieskończoność w takim razie (1/0).

rafal01: A właściwie rozpatrując coś takiego mamy + lub − ∞

Gray: I nie przeszkadza Ci 2−2 w mianowniku?

Gray: Kolego, przeczytaj (ze zrozumieniem) to co napisałem... ( tu jeszcze było ", a nie delektuj się swoimi bzdurami", ale usunąłem to, żeby nie robić Ci przykrości).

rafal01: no właśnie nie do końca wiedziałem co z tym zrobić, ale skoro to granice funkcji to nie jest tak jak mówię? W takim razie f(x+2,2) to nadal ¹_{(2−x−2)(2−2)}, więc mamy 0 w mianowniku. Jak to powinno być zrobione?

Gray: Masz napisane (sam to napisałeś), że dla y=2 f(x,y)=0. Więc f(x+2,2)=0. Nie chce być inaczej.

rafal01: i doskonale rozumiem, że f(2,2) = 0, ale f(2+x,2) to nie jest już inna funkcja? Bo przecież podstawiając wartości wyjdzie zawsze 0 w mianowniku.

rafal01: Właściwie to jak patrzę to jak mamy f(2+x,2) to nie patrzymy na tego x'a (2+x) tylko wstawiając y=2 funkcja się wyzeruje. Dobrze myślę?

Gray: Postaraj się zrozumieć jak Twoja funkcja wygląda, bo odnoszę wrażenie, że ja wiem o niej więcej (domyślając się jej wzoru), niż Ty mając go gdzieś napisanego. Twoja funkcje zapewne określona jest tak:

	1
a) f(x,y)=		dla x≠2 i y≠2
	(2−x)(2−y)

b) f(x,y)=0, dla x=2 lub y=2. To oznacza, że licząc f(x+2,2) należy skorzystać, ze wzory b), gdyż mamy tu y=2. Tym samy f(x+2,2)=0 a Ty unikasz dzielenia przez 0. To właśnie w tym celu rozbija się funkcję na przypadki, a nie dlatego aby utrudnić życie studentom (dlatego też, ale w mniejszym stopniu).