Wykazywanie w algebrze Naval: Udowodnij że: a) √6−4√2 + √6+4√2 = 4 b)√7+2√10 + √7−2√10 = 2√5 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność. a) a² + b² ≥ 2(a−b−1) b) a² + b² ≥ 4(a+b−2) c) a²+ab+b² ≥ 0

Frost: Udowodnienia podnieś obustronnie do kwadratu

Frost: c) można chyba zwinąć we wzór (a+b)²≥ab gdy iloczyn ab jest ≤0 to równość jest spełniona bo kwadrat zawsze jest≥0 a gdy iloczyn ab jest >0 kwadrat sumy jest tym bardziej większy od 0 bo zawiera w sobie podwojony iloczyn ab ( a²+2ab+b²)

PW: a) można tak: 6 − 4√2 = (2−√2)² (dla wersji z plusem podobnie) i obliczać pierwiastki.

Naval: Podnosiłem je do kwadratu ale równanie wychodziło sprzeczne. Jeśli założymy że a=√6−4√2 oraz b=6+4√2 to podniesienie do kwadratu będzie wyglądało tak: (a + b)² = 16 czy każdy pierwiastek oddzielnie?

Naval: POPRAWKA Podnosiłem je do kwadratu ale równanie wychodziło sprzeczne. Jeśli założymy że a=√√6−4√2 oraz b=√6+4√2 to podniesienie do kwadratu będzie wyglądało tak: (a + b)2 = 16 czy każdy pierwiastek oddzielnie?

PW: Nie jest to dobra metoda, mówię w oderwaniu od Twoich wątpliwości. Masz udowodnić, że suma dwóch liczb a i b jest równa 4. Jeżeli zaczynasz od tego, że (a+b)² = 16, to korzystasz z tezy − z tego co dopiero masz udowodnić. Taki sposób myślenia jest wadliwy logicznie. Wyjątkowo można takie postępowanie "obronić", gdy napisze się, że wszystkie przekształcenia były równoważnościowe, a końcowe zdanie w tym ciągu przekształceń jest prawdziwe. Co z tego, gdy większość o tym nie pamięta. Dlatego stanowczo zalecam myślenie zaprezentowane o 19:45.

Frost: Można skorzystać z tego? (6−4√2)(6+4√2)=36−32=4

	4
(6+4√2)=
	(6−4√2)

plus informacja od PW z 19:45

Naval: a) zrobiłem tą metodą, dzięki wielkie! Natomiast dalej mam problem z b)

Naval: okej już to widzę dzięki!

Frost: nie wiem czy metoda z 19:41 jest wystarczająca by to udowodnić ( dla podpunktu c)

Naval: jednak jeszcze jak byście mi pomogli z b)

Frost: Próbuję

Naval: akurat c) rozumiem. Wystarczy napisać, że (a+b)² ≥ 0 bo kwadrat wyrażenia algebraicznego zawsze jest dodatni.

Naval: Kurde jednak nie bo to nie wzór skróconego mnożenia, moja gafa

PW: b) Po prostu podnieść lewą stronę do kwadratu − powinno dać 20, a ponieważ lewa strona jest dodatnia, to jest równa √20 = 2√5. Tym razem nie da się tak prosto jak a).

Naval: Dobra mam b). Robiłem podnosząc do kwadratu, ale przy okazji popełniałem ciągle ten sam prosty błąd rachunkowy stąd ta sprzeczność.