rówananie trygonometryczne Karolina: sin x + sin ^π₆ = sin (x +^π₆ ) rozwiąż rówanie (wiem ze funkcje sumy i róznicy kątów ale nie wychodzi mi po zastosowaniu tych wzorów:( )

Karolina:

PW: Przypuśćmy, że istnieją dwa rozwiązania tego równania: x i y

	π
sinx + sin		= sin(x+U{π}{6),
	6

	π
siny + sin		= sin(y+U{π}{6);
	6

po odjęciu stronami dostajemy

	π		π
sinx − siny = sin(x+		) − sin(y+		).
	6		6

Zastosowanie wzoru na różnicę sinusów daje

	x+y		x−y		x+y		π		x−y
2cos		sin		= 2cos(		+		)sin		.
	2		2		2		6		2

Wynika stąd, że

	x−y		x+y		x+y		π
sin		= 0 lub cos		= cos(		+		)
	2		2		2		6

(1) x − y = 2kπ lub

	x+y		π		x+y
(2)		+		=		+ 2kπ
	2		6		2

lub

	x+y		π		x+y
(3)		+		= −		+2mπ.
	2		6		2

Równanie (2) nie ma rozwiązań, pozostaje (1) oraz

	π
(3') x+y = 2mπ −		.
	6

Jak łatwo zauważyć jednym z rozwiązań zadanego równania jest y = 0, pozostałe spełniają więc zależności

	π
x = 2kπ lub x = 2mπ −		.
	6

Bogdan: Pobawmy się tożsamościami trygonometrycznymi: sinα + sinβ = sin(α + β) ⇒ sinα + sinβ − sin(a + β) = 0

	α + β		α − β		α + β		α + β
2sin		cos		− 2sin		cos		= 0
	2		2		2		2

	α + β		α − β		α + β
2sin		(cos		− cos		) = 0
	2		2		2

	α + β		α + β
sin		= 0 ⇒		= k*2π, k∊C
	2		2

lub

	α − β		α + β
cos		= cos
	2		2

α − β		α + β		α − β		α + β
	=		+ k*2π lub		= −		+ k*2π
2		2		2		2

itd.