trygonnometiria Patryk3k: Hejka Potrzebuję pomocy z tymi zadankami 1. Wyznaczyć wartość cos2α wiedząc że tg²α − ctgα +1 =0 gdzie 0< α < ^π₄; c >2 2. Spośród rozwiązań równania sin⁴x + cos⁴x = cos2x wybrać takie dla których spełniony jest warunek sinx +cos(^x₂) > 0 gdy x∊(0,π) 3.

Patryk3k: h_elp m^e

PW:

	cos2α − sin2α		cos2α − sin2α
cos2α = cos2α − sin2α =		=		.
	1		cos2α + sin2α

Po podzieleniu licznik i mianownika przez cos²α widzimy, że

	1−tg2α
(1) cos2α =
	1+tg2α

(wzór taki jest zresztą w tablicach). W treści zadania podano, że (2) tg²α − c·tgα + 1 =0,, c > 2 czyli − patrząc na to jak na równanie kwadratowe x² − cx + 1 = 0, c > 2 widzimy, że Δ = c² − 4 > 0, zatem wartości tgα określone w treści zadania istnieją, dla dowolnej c > 2 mają postać

	c − √c2 − 4		c + √c2 − 4
tgα =		lub tgα =		.
	2		2

	c
Jak łatwo zauważyć drugie z rozwiązań jest liczbą większą od		, czyli większą od 1, nie
	2

	π
spełnia więc warunku tgα < tg		= 1 wynikającego z założeń (funkcja tangens na podanym
	4

przedziale jest rosnąca). Wniosek:

	c − √c2 − 4
(3) tgα =		.
	2

Podstawienie (3) w (1) daje odpowiedź.

PW: Jeszcze uwaga techniczna: nie pisz takich rzeczy jak ctgα, gdy masz na myśli iloczyn liczby c i tgα. Pierwsze odczytanie daje kotangens alfa, i gdyby nie "c" występujące w założeniach, nikt by się nie domyślił.