Jednostajna ciągłość Saizou : Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f(x)=x² na całej prostej Weźmy x,y∊R takie że lx−yl<δ, zatem lf(x)−f(y)l=lx²−y²l=lx−yl•lx+yl

	ε
i wystarczy wziąć ε=		, wówczas
	δ

	ε
lx−yl•lx+yl<δ*		=ε
	δ

jest ok ?

Godzio: Niestety, x² jest jednostajna? Niech x_n = √n, y_n = √n − 1 wówczas ... Wiadomo co robić?

Saizou : yyyy.... nie za bardzo

Godzio: |x − y| < δ Więc biorę dwa ciągi spełniające tą zależność bo

	1
√n − √n − 1 =		→ 0 − warunek spełniony, ale
	√n + √n − 1

√n² − √n − 1² = n − (n − 1) = 1 → 1 ≠ 0 zatem funkcja nie jest jednostajnie ciągła Schemat jest taki: Bierzemy dwa ciągi, których różnica dąży do zera (od pewnego miejsca różnica jest mniejsza od delty), ale różnica wartości już nie dąży do zera (jest większa od epsilona)

Saizou : dzięki wielkie, Godzio dlaczego nie jesteś ćwiczeniowcem? studenci by cię ubóstwiali a teraz lecę nadrabiać materiał do sesji, jak będę mieć pytania to się odezwę

Godzio: No nie wiem nie wiem

Saizou : Ale ja wiem

Saizou :

	x2
Jak wykazać że funkcja f(x)=		jest ciągła na R
	x2+1

kyrtap: Saizou dzisiaj płaczemy

Saizou : Płakać będziemy kiedy nie zaliczmy sesji, a teraz do pracy

Kacper: A definicja ciągłości? Pytasz o ciągłość, czy ciągłość jednostajną?

Saizou : normalna ciągłość definicja mówi że ∀ε>0 ∃ δ>0 ∀ x∊E lx−x₀l<δ⇒lf(x)−f(x₀)l<ε

Godzio: A może definicją Heinego? Cauchy'ego jest nieco problematyczna czasem.

Saizou : Czyli trzeba znaleźć taki ciąg liczb rzeczywistych że dla każdego x∊R x_n→x⇒f(x_n)→f(x)

Godzio: No zadanie jest banalne Niech x_n → x₀ oraz x_n ≠ x₀ wówczas

	xn2		limn→∞xn2
limn→∞		=		=
	xn2 + 1		limn→∞xn2 + 1

	(limn→∞xn)2		x02
=		=
	(limn→∞xn)2 + 1		x02 + 1

i tyle.

Saizou : na prawdę

Godzio: Naprawdę

Saris: Tak btw. czemu musisz to wykazywać jeśli to funkcja elementarna ?

Godzio: Matematyk wszystko musi wykazywać

Maslanek: Co do jednego się nie zgodzę x_n→x₀ tak, ale x_n≠x₀ nie. Przy takiej sytuacji okazywałoby się, że f:{2}−>R dana wzorem f(x)=2 nie jest ciągła. Formalnie tak jak Godzio zaproponował korzystamy z warunku koniecznego i wystarczającego ciągłości w punktach skupienia dziedziny (ale nie bezpośrednio z definicji Heinego ciągłości ). Dopisałbym wtedy po tym ciągu równości jeszcze "=f(x₀)" Różnica formalna, ale dość istotna