ciąg geometryczny Rovni: Witam pomóżcie proszę w zadaniach z ciągu geometrycznego− proszę o jakieś wskazówki jak to zrobić 1 Liczba wyrazów skończonego ciągu geometrycznego jest parzysta. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest 5 razy wieksza od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych. Znajdź iloraz tego ciągu. 2 Zbadaj czy trzy różne liczby a1,a2,a3 mogą jednocześnie tworzyć ciąg arytmetyczny i geometryczny.

Basia: a₁+a₂+....+a_2n = 5(a₂+a₄+a₆+....+a₂n)

	1−q2n
a1*		= 5(a1*q + a1*q3+a1*q5+....+a1*q2n−1)
	1−q

	1−q2n
a1*		= 5a1*q(1 +q2+q4+....+q2n−2)
	1−q

	1−q2n
a1*		= 5a1*q(1 +q2+q4+....+q2(n−1))
	1−q

	1−q2n
a1*		= 5a1*q(1 +(q2)1+(q2)2+....+(q2)(n−1)})
	1−q

w nawiasie mamy sumę ciągu b_n geometrycznego b₁ = 2 iloraz = q²

	1−q2n		1−(q2)n
a1*		= 5a1*q*1		/:a1
	1−q		1−q2

1−q2n		1−(q2)n
	= 5q*
1−q		1−q2

potrafisz to rozwiązać do końca ?

Rovni: dzieki

Bogdan: Dzień dobry. Zadanie 1. Pójdźmy tropem Basi, ale nieco zmodyfikujemy obliczenia. a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_2n−1 + a_2n = 5a₂ + 5a₄ + ... + 5a_2n

a2		a3		a4
	= q,		= q2,		= q2
a1		a1		a2

a₁ + a₃ + ... + a_2n−1 = 4(a₂ + a₄ + ... + a_2n) W każdej sumie jest n czynników.

	q2n − 1		q2n − 1
a1 *		= 4 * a2 *
	q2 − 1		q2 − 1

Po uproszczeniu mamy:

	a2		1		1
a1 = 4a2 ⇒		=		⇒ q =
	a1		4		4

Masztalski: Witam, Chciałbym wprowadzić drobną korektę do rozwiązania Bogdana, gdyż wkradła się tam drobna omyłka, otóż mamy zależność 4 * S_2n−1 = S_2n . Skoro

	1 − q2n
S2n−1 = a1 *		, a
	1 − q2

	1 − q2n
S2n = a2 *
	1 − q2

	1
to q = 4 , a nie		. To tak pro forma
	4

Bogdan:

	1
Stwierdziłem, że iloraz ciągu opisanego w zadaniu q =		, aMasztalski, że q = 4.
	4

Zamiast prowadzić wywód teoretyczny, sprawdźmy nasze ustalenia na przykładzie, treść zadania zapisuję pogrubioną czcionką. Liczba wyrazów skończonego ciągu geometrycznego jest parzysta. Weźmy ciąg geometryczny (a_n), w którym a₁ = 64, n = 4. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest 5 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych.

	1
Dla q =		mamy: a1 = 64, a2 = 16, a3 = 4, a4 = 1.
	4

64 + 16 + 4 + 1 = 85, 16 + 1 = 17, 85 = 5 * 17 zgadza się; Dla q = 4 mamy: a₁ = 64, a₂ = 256, a₃ = 1024, a₄ = 4096. 64 + 256 + 1024 + 4096 = 5440, 256 + 4096 = 4352, 5440 ≠ 5 * 4352. Dla q = 4, który podał Masztalski, nie są spełnione warunki zadania,

	1
natomiast q =		, który podałem, te warunki spełnia.
	4

Nikuś: Bogdanie, zadziwię cię. Odpowiedzi świadczą o wyniku q=4

Mila: 2)a≠b≠c

	a+c
a,b,c ciąg arytmetyczny ⇔b=
	2

a,b,c ciąg geometryczny⇔b²=a*c

	a+c
(		)2=a*c
	2

a2+2ac+c2
	=a*c
4

a²+2ac+c²=4ac a²−2ac+c²=0 (a−c)²=0⇔a=c co jest sprzeczne z założeniem

gfhfg: fghfgh