tworzące Saris: Jak się robi tego typu zadania?

	1		1
Znajdz ciag, ktorego funkcja tworzaca jest f(x) =		, f(x)=		,
	x−3		1+x2

	1
f(x)=
	x2−5x+6

.

Gray: Funkcja tworząca ciągu {a_n} to funkcja F(x) = ∑a_nxⁿ. W Twoim przypadku wszystko rozbija się o szereg geometryczny.

	1		1		1		1
Np.		= −				= −		∑(x/3)n = ∑(−3−n−1)xn, zatem jest to
	x−3		3		1−x/3		3

funkcja tworząca ciągu a_n=−3⁻ⁿ⁻¹. Pozostałe podobnie.

Gray:

1		1
	=		= ∑(−x2)n = ∑(−1)nx2n,
1+x2		1−(−x2)

i masz tu funkcję tworzącą dla ciągu {0,−1,0,1,0,−1,0,1,...} − możesz znaleźć wzór ogólny.

Gray:

1		1		1		1
	=		=		−		=...
x2−5x+6		(x−2)(x−3)		x−3		x−2

.... obydwa rozwalasz tak jak ja zrobiłem w przykładzie pierwszym; następnie wchodzisz pod wspólną sumę ∑ i masz Twój ciąg. O ile się nie mylę (nie liczyłem tego) wyjdzie Ci: ....= ∑(−3⁻ⁿ⁻¹+2⁻ⁿ⁻¹)xⁿ

Saris: Ok, dzięki. Przeanalizuję to sobie.

Saris: w 1. z (x/3)ⁿ wyciągasz x za nawias i zostaje −3⁻¹∑(3⁻1)ⁿ*xⁿ potem potęgujesz nawias sumowany i wciągasz −3⁻¹ do sumy? Dobrze rozumuje? A w jakich przypadkach zmienia się podstawy sumy, bo rozumiem ze teraz jest n=0 do ∞ .

Gray: Co to są podstawy sumy?

Saris: znaczy jak przy sumie ∑ zaczynasz od 0 do ∞, to nie zawsze tak bedzie. To chyba jeśli ciągu zmieniasz na funkcję wykładniczą, tak?

Gray: Suma zawsze może być od 0 do ∞; zależy jak sobie ciąg zdefiniujesz.

Saris: Dobra, a jak działa odwrotne działanie? Z ciągu tworzenie funkcji wykładniczej.

Saris: a dobra już chyba widzę. Sprawdziłbyś mi parę przykładów jak zrobię i je tu rozpiszę?

Gray: Dlaczego mieszasz tu funkcję wykładniczą?

Saris: ... miało być tworzącą. co innego myślałem, co innego napisałem.

Gray: Napisz, sprawdzę.

Saris: Dobra zrobiłem parę przykładów od 0. Nie wiem czemu w drugim i trzecim pojawia się 0 skąd to wynika? Takie powinny być odpowiedz, ale tego nie widzę. http://zapodaj.net/cfc7341d7e464.jpg.html Teraz spóbuje przykłady w drugą stronę.

Gray: Szybko przejrzałem, ale wydaje mi się, że jest OK. Skąd 0? Skoro sumujesz od n=0 do ∞ elementy postaci xⁿ⁺¹ to czy występuje w tej sumie składnik zawierający x⁰? Występuje, ale go nie widać, bo jest mnożony przez 0: x+x²+x³+...= 0x⁰+x+x²+x³+... = ∑a_nxⁿ, gdzie a₀=0, a_n=1, dla n≥1. Widzisz już?

Saris: mhm. Zaraz wrzucę parę innych zadanek. Byłym wdzięczy jakbyś rzucił okiem tylko Dzięki póki co.

Saris: Kojarzysz może kod Prufera i w jaki sposób wypisywać drzewa za jego pomocą?

Gray: Pierwszy raz o tym słyszę, ale widzę, że jest teoria w sieci więc mógłbym kojarzyć, ale ... Czas na wagę u złota u mnie. Sesja.

Saris: Ok, a jesteś mi tylko wstanie powiedzieć jak przekształcać takie ciągi jak w przykładach f)−j) stąd http://home.agh.edu.pl/~fortuna/MD/MD_06.pdf jeśli oprócz wyrazów ciągu są dodatkowo jakieś wyrazy typu 2n+1, 4ⁿ, 5ⁿ+n. W taki sposób robiłem jak nie ciąg składał się z sumy innych wyrazów ciągu: http://zapodaj.net/55c0089bd4725.jpg.html Jeśli mam ciąg typu a_n=a_n−1+a_n−2+6ⁿ i on obowiązuje od n≥2 to wyrazy ciągu umieszczę w sumie i je jakoś zredukuje tak jak to robiłem na powyższych przykładach, ale z tym 6ⁿ będą miał ∑ od n=2 do ∞ z 6ⁿxⁿ. To tak to zostawiam? Chyba nie bo sumuje od n=2...

Saris: .

Saris: .

Saris: Gray masz chwilę żeby mi to wytłumaczyć?

Gray: Z tamtymi ciągami tak się robiło, aby wyznaczyć ich sumy, czyli funkcję f. W tym przypadku, szereg ∑6ⁿxⁿ = ∑(6x)ⁿ jest sumą ciągu geometrycznego; jeżeli sumujesz od n=2 to suma ta jest równa:

	36x2
∑(6x)n=		, o ile |6x|<1.
	1−6x

Co studiujesz?

Saris: Dobra zrozumiałem, a na przykład jak będzie na końcu 5n+4 itd.? i też suma nie jest od 0. Jak mam ciąg typu a_n+2=a_n+1−4a_n−3 to mogę go zapisać a_n=a_n−1−4a_n−5 i liczyć dopiero wtedy? Informatykę na AGH.

Gray: Jeżeli chodzi o pierwsze pytanie: "....5n+4" − wszystko zależy od konkretnego ciągu − zwykle da się to jakoś zwinąć. Na drugie: tak.