Uzasadnić nierówność Beata:

	π
arctg(x2 + 1) ≤		+ x2
	4

Na zajęciach podobne przykłady robiliśmy z tw. La' Granga, ale nie wiem czy tu też można to zastosować? Udowodnienia to najtrudniejsze zadania dla mnie bardzo prosiłabym o pomoc.

Gray: Dla x=0 mam równość. Weźmy więc dowolne x>0 oraz niech f(t)=arctg(t+1) dla t∊[0,x]. Z tw. Lagrange'a:

f(x)−f(0)
	= f'(c), dla pewnego c∊(0,x).
x−0

Zatem:

	arctg(x+1) − arctg1		1
		=		,
	x		1+(1+c)2

	1
ale		≤1, więc otrzymujemy:
	1+(1+c)2

arctg(x+1) − π/4
	≤1 ⇒ arctg(1+x)≤x+π/4, dla dowolnego x>0.
x

Podstawiając za x → x² (jest OK, bo x²≥0) mamy: arctg(1+x²)≤x²+π/4