Dwa zadanka z geometrii analitycznej w 3R. Nissan:

	⎧	x+2y−z=0
Zad1.Zapisać w postaci parametrycznej rzutu prostej l :	⎩	2x−y+z=−3	na płaszczyznę

π1 : x−y+z=2. (Jak to ruszyć,może jakaś mała/większa wskazówka?,zrobiłem szkic ale nic po za policzeniem wektora z tej prostej nie mam) Zad2.Napisać równanie płaszczyzny π1 prostopadłej do płaszczyzny π2 : −3x+2y−4z=1 i zawierającej prostą.Z tej prostej jestem w stanie odczytać wektor równoległy do niej i punkt.(Tylko co mi ten punkt daje, ma przez niego przechodzić ta płaszczyzna?) l: ^x+1₋₂ = ^y₋₂ = ^z−2₃

Mila: 1) l: x+2y−z=0 2x−y+z=−3 k^→=[1,2,−1]x[2,−1,1]=[1,−3,−5] wsp. kierunkowy prostej l Szukamy punktu ∊l x=0 2y−z=0 −y+z=−3 y=−3 z=−6 A=(0,−3,−6)∊l Równanie parametryczne prostej l: x=t y=−3−3t z=−6−5t Szukamy drugiego punktu B∊l Dla t=−1 B=(−1,0,−1) Rzut prostopadły punktu A na π1: n^→[1,−1,1] wektor normalny π1 p: prosta prostopadła do π1 i przechodząca przez A=(0,−3,−6) x=0+s y=−3−s z=−6+s Szukamy punktu przebicia płaszczyzny π1⇔Podstawiamy do równania płaszczyzny π1 s−(−3−s)+(−6+s)=2 s+3+s−6+s=2 3s=5

	5
s=
	3

	5		2		1
A'=(		,−4		,−4		)
	3		3		3

podobnie szukasz rzutu punktu B na π1 i piszesz równanie prostej Posprawdzaj rachunki.

Nissan: Dziwne albo ja jestem tępy albo moja pani profesor dała mi błędną odpowiedź bo jej wychodzi l:

	⎧	x=2t−1
	⎨	y=−5t
	⎩	z=−7t−1

AS: Popróbuję i ja moich sił Dana płaszczyzna: Pi: −3*x + 2*y − 4*z = 11 Prosta w postaci parametrycznej: x =−1 − 2*t , y =−2*t , z = 2 + 3*t , t ∊ R Szukana płaszczyzna; m*X + n*y + p*z + 1 = 0 Obieram dwa różne punkty należące do prostej np. A1 = (−1,0,2) dla t = 0 , A2 = (−1,−2,5) dla t = 1 Z warunku prostopadłości płaszczyzn mamy −3*m + 2*n − 4*p = 0 m + 0*n + 2*p = −1 po podstawieniu wsp. A1 −m − 2*n + 5*p = −1 po podstawieniu wsp. A2 Rozwiązaniem tego układu równań jest m = 1/7 , n = −9/14 , p = −3/7 Po uporządkowaniu mamy szukane równanie płaszczyzny 2*x − 9*y − 6*z + 14 = 0

AS: Uwaga do tematu W równaniu płaszczyzny mamy ... = 1 a nie 11 Nie ma to wpływy na przebieg rozwiązania.

AS: Jeszcze jedna uwaga Przy przepisywani zgubiłem znak − dla punktu A1 równanie ma postać −m + 0*n + 2*p = −1 i taki układ jest rozwiązywany.Odpowiedź jest poprawna. Sprawdziłem. Ten paskud chochlik tylko czekał na okazję.

Nissan: Drugie już sam ogarnąłem.Chodziło mi o zad1.Do niego podałem odpowiedź.

Mila: Piszesz o równaniu prostej l z (1), czy o rzucie na płaszczyznę π1?

Nissan: Chodzi mi o ten rzut.Mam dwa punkty zrzucone i co dalej?

Mila: Piszesz równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty A' i B', masz z tym problem?

Mila: Jakie napisałeś rownanie rzutu?

Nissan: No właśnie z tym też mam problem.Wróćmy jednak do równania prostej.Mam te punkty ale jak zapisać.Podstawić je do postaci parametrycznej , o którą proszą mnie w zadaniu?Skąd mam wziąć wektor?

Mila: Jakie są współrzędne B' ?

Mila:

	5		2		1
A'=(		,−4		,−4		)
	3		3		3

	1		4		1
B'=(		,−		,		)
	3		3		3

	−4		10		14
A'B'→=[		,		,		]
	3		3		3

Wektor ten jest równoległy do wektora u^→=[−4,10,14], a ten do wektora [−2,5,7] Równanie prostej A'B':

	5
x=		−2t
	3

	2
y=−4		+5t
	3

	1
z=−4		+7t
	3