dd Hugo: przebieg funkcji (okrojony) prosze mnie sprawdzić 1. Dziedzina 2. Asymptoty 3. Extremy 4. Wypuklosci 5. Tabelka 6. Wykres y = x + sinx 1. Df: x e <−1; 1> 2. lim x−> −1⁺ sinx + x = nie da się 2. lim x−> +1⁻ sinx + x = ... znowu nie ma asymptoty pionowej?

	f(x)		sinx
a = lim x−> +− oo		= lim x−> −+oo 1 +		= sin(oo) nie istnieje mamy tu
	x		x

nei skonczonosc przez nieskonczonosc dejupital nam nic nie da bedze cosinus nie skonczonosci WIEC NIE MA ASYMPTOT ANI PIONOWYCH ANI POZIOMYCH

J: a dlaczego dziedzina to tylko <−1,1> ...?

Hugo: a jaka? pomocy

Hugo: sinx jest ograniczony <−1 ; 1> a x nic nie zmienia

kyrtap: R

kyrtap: dziedziną sinx jest R a zbiorem wartości <−1,1>

J: przecież dziedziną funkcji sinx jes R

Hugo: racja

Hugo: ale tgx arctg ctg czy cos to juz nie !

J: y = cosx ... D = R

Hugo: dz

Hugo: czyli nie ma asymptot pionowych

Hugo: a co z poziomymi ukośnymi a = lim x−> +− oo U{f(x)}{x)

Hugo:

	f(x)
a = lim x−> +− oo
	x

Hugo: jak podstawie pod sinusa nie skonczonosc?

Hugo:

	sin(+−oo)
1 +
	+−oo

Hugo: nie istnieje?

Hugo: :((

Hugo: http://www.matematyka.pl/336164.htm tu piszą że nie ma

Hugo: pochodne y' = 1 + cosx 1+ cox = 0 cosx = −1 x = pi + 2kpi czy to bedzie miec extrema ? bo rosnie spada rosnie spada ' y'' = −sinx −sinx = 0 sinx = 0 x = kpi

Hugo: Hugo znalazl to http://scr.hu/2pdc/szeyp

Hugo: [C[dwie grupy mam i w sumie 4 zadania] y = sinx + x y = ln(1+x²) y = cosx −1 y = (x−1)e^x blagam o pomoc !

john2: Gdzie jest problem?

Hugo: Potrzebuje rozwiązać te 4 zadania, problem z pierwszym jak licze asymptoty ukośne z sinusem jak to trzeba zrobic?

Hugo:

sin +− oo
	+ 1
+−oo

john2: chyba tak:

	x+sinx		sinx		1
limx−>±∞		= limx−>±∞ [1 +		] = limx−>±∞ [1 + sinx *		] =
	x		x		x

[1 + funkcja ograniczona * 0 ] = [1 + 0] = 1 b nie ma

Hugo:

	sin +−oo
bo jak licze a = lim f(x) / x to mam 1 +		i zeby sie równo wazyło z
	+−oo

	sin +−oo
znalezionym w necie rozwiazaniem musi to dawac 1 wiec		sie zeruje
	+−oo

Hugo: aaaale sprytne razy zero no dzięki prosze zostań jeszcze na te 4 przyklady

Hugo: okej wiec wyraz b

john2: ok, ale mogę nie odpowiadać zbyt szybko

Hugo: b = lim ... f(x) − ax b= lim... sinx + x − x = sinx sin(+−oo)

Hugo: zobacz na ten link http://scr.hu/2pdc/rifnk

Hugo: tam widać że OY przebija w pkt 1 i −1 wiec b musi dać II rozwiązania

Hugo: zatem lim x−> +−oo sinx = 1 v − 1? Tylko jak i wgl

Hugo: pochodne: pochodne y' = 1 + cosx 1+ cox = 0 cosx = −1 x = pi + 2kpi czy to bedzie miec extrema ? bo rosnie spada rosnie spada ' y'' = −sinx −sinx = 0 sinx = 0 x = kpi Dobrze tabelke sb odpuszcze ale bo mam ~2,5h wykres mam, ale zapytam sie czy są jakies extremum albo uskoki wklęsłości funkcja jest okresowa

john2: Nie wiem. b = lim_x−>±∞ (x + sinx − x) = lim_x−>±∞ sinx a to chyba nie ma granicy. Na tym rysunku nie powiedziałbym, że to są asymptoty ukośne. Wykres funkcji ma się zbliżać do asymptoty np w plus nieskończoności. Tutaj się nie zbliża.

john2: Zobacz kiedy y' > 0 i będziesz wiedzieć, że kandydat pi plus pi/2 może być ekstremum. to samo z y'' y'' > 0, gdy sinx < 0 dla tych x funkcja wesoła y'' < 0, gdy sinx > 0 dla tych x funkcja funkcja wesoła jest zmiana znaku y'' wokoł kpi

john2: Poprawka:, że nie może być ekstremum

Hugo: y = ln(1+x2) y = cosx −1 y = (x−1)ex y = ln(1+x2) 1+x² > 0 x²> −1 x e R nie ma pionowych

	f(x)		ln (1+x2)
a =		=		= [oo]/[oo] Hospital ale tylko dla x−> + oo bo dla ujemnego
	x		x

ni ma

	2x
.... lim..		= 0
	x2+1

john2: Poprawka2 że π + 2kπ nie może być ekstremum

john2: Poprawka3: dla y'' < 0 funkcja smutna

john2: lim przy x − > minus nieskończoności też ma sens, bo x jest do kwadratu

Hugo: f''(x) = (1 + cos x)' = − sin x (f''(x) = 0) ⇔ (− sin x = 0) ⇔ (x ∈ {kπ, k ∈ Z}) (f''(x) > 0) ⇔ (− sin x > 0) ⇔ (sin x < 0) ⇔ (x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ), k ∈ Z}) (f''(x) < 0) ⇔ (− sin x < 0) ⇔ (sin x > 0) ⇔ (x ∈ (2kπ,(2k + 1)π), k ∈ Z})

Hugo: a moglbys mi napisac tabelke?

john2: Nie wiem, jak się robi te przedziały w tabelkach przy funkcjach trygonometrycznych, pomyślę.

john2: Zrobiłbym to bez tabelki. y'>0 dla x ∊R \ {π+2kπ} f(x) ↗ x ∊R y'' > 0 dla x ∊ (0 + 2kπ, π + 2kπ) dla tych x f(x) ∪ y'' < 0 dla x ∊ (π + 2kπ, 2π + 2kπ) dla tych x f(x) ∩ Punkt przegięcia (kπ, kπ)

john2: Kurde, sorry, źle te przedziały wyznaczyłem.

Hugo: juz ok ok mam wszystko z tym

Hugo: f jest wypukła dla x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ), k ∈ Z}, wklęsła dla x ∈ (2kπ,(2k+1)π), k ∈ Z}, punkty przegięcia są elementami zbioru {kπ, k ∈ Z}.

Hugo: jest rosnąca nie ma extremów, są pkt przegięć 1,5h zostalo mi zad 2 ?

john2: Będzie dokładnie na odwrót, y'' > 0 dla tego drugiego przedziału, y'' < 0 dla tego pierwszego

john2: No to jedź. Tak jak pisałem ukośna w minus nieskończoności też może być.

Hugo: ln(x² + 1)

Hugo: post 14:48

Hugo: b dla x −> +oo lim x−>oo ln (x² +1) = nie istnieje ⇔ brak ukośnych? [ln (oo) = oo]

john2: No już się odniosłem do tego, minus nieskończoność też uwzględnij

john2: tak, brak ukośnych

Hugo:

	2x
y' =		−−−−−> x = 0
	x2+1

	−2x2 +2
y'' =		−−−−−−−−> x = 1 v x = −1
	x2 +1

Hugo: no tak tak dla x −> −oo nie ma ! juz przy obliczaniu 'a' bo ln(−oo) nie ma

Hugo: a wykres bys umial tak mniejwięcej? jak nie to lecimy dalej

Hugo: Google mówi http://scr.hu/2pdc/9xx0i

Hugo: TO lecimy do 3 y = cosx −1 y = (x−1)e^x

Hugo: dziedzina x e R asymptoty brak pionowych as. ukośne

	cos(+−oo) −1
lim x−>+− f(x) / x = NIE MA ponownie
	+−oo

john2: Jeszcze raz powtarzam. Minus nieskończoność ma sens, bo ln(1 + (−∞)²) = ln(1 + ∞) = ln(∞)

john2: Masz wszystkie dane do wykresu. Zaznacz ekstrema, punkty przegięcia, patrz gdzie funkcja ∪/∩ i ↗/↘

john2: f(x) = cosx − 1 nie będzie mieć asymptot ukośnych, bo jest to funkcja okresowa.

Hugo: y' = −sinx −sinx = 0 sinx = 0 , x = kpi , k e C extremy są chyba są w pkt x = kpi

Hugo: racja nie zauważyłem oo² dzieki : )) odpuszcze sb tabelke ;x chce jeszcze te przykladdy zrobic malo czasu mam tabelka prosta

Hugo: y'' = −cosx sytuacja podobna −cosx = 0 cosx = 0 //tak mozna robic? budować dla cosx = 0 wykres a nie dla −cosx pkt przegięcia dla x = kpi

john2: Narysowałeś sinx zamiast −sinx. Są ekstrema co π, ale zauważ, że są to na przemian minima i maksima.

Hugo: wiem wiem, −sinx a sinx w tym wypadku dla zera to to samo

john2: Ale nie to samo, gdy badasz znak...

john2: Pamiętaj, że badasz znak pochodnej, czyli rozwiązujesz nierówności: − cosx > 0 oraz − cosx < 0 Możesz patrzeć na wykres cosx, ale wtedy patrzysz, gdzie indziej na wykres.

john2: Poza tym, mam nadzieję, że nie zapominasz liczyć wartości funkcji dla ekstremów i punktów przegięcia.

john2:

	π
Punkt przegięcia to (		+ kπ, −1)
	2

Hugo: tam sie zero równa

Hugo: jak to pi/2 + kpi , −1 od pi/2 + kpi do −1? −1 jest bez kpi wiec wkońcu pi/2 + kpi przerosnie −1

john2: to co napisałem to współrzędne punktu przegięcia, nie przedział

Hugo: ach : )

Hugo: no to tak sie zgadza

Hugo: powiedz mi y = (x−1)e^x pionowych nie ma ukośne:

	(x−1)ex
dla x−>oo a= lim		= [oo]\[oo]
	x

Hospital

	ex
lim x−>oo ex * x =		= 0
	1/x

	ex		oo
[		] −−−> [		] −> 0
	1/oo		0

john2:

	(x − 1)ex		(x − 1)
lim x − >±∞		= lim x − >±∞		* ex
	x		x

	(x − 1)
lim x − >+∞		* ex = [1 * ∞]
	x

	(x − 1)
lim x − >−∞		* ex = [1 * 0]
	x

Hugo: aaaaaaaaaaaaaaaaa

Hugo: wyraz b

Hugo: ale tylko dla x−> −oo (x − 1)e^x − ax = ....

Hugo: i wychodzi ze

	1		oo
−oo *		czyli Hospital		ale no to jedno trzeba do mianownika a nie wiem jak
	oo		oo

Hugo:

john2:

	x −1
limx−>−∞ (x−1)ex =		teraz regułą
	1   ex

Hugo: ja wrzucalem x−1 do mianownika, mozna tez?

Hugo: 1/ e^−oo = e^oo prawda

john2: można, ale chyba wtedy Ci nic to nie da,

1		1
	=		= e∞
e−∞		1   e∞

Hugo: Hostpital

1		1		1
	=		=		= ex =
1/e2x * ex		ex/e2x		e−x

a ze mamy x−> oo e^x = 0 dobrze? ukosna y = 0

Hugo: ale jak robiles pochodną mianownika

1		1
	= −		* ex czyz nie?
ex		e2x

Hugo:

1		1
	=
x		−x2

john2: tak

Hugo: wiec masz źle ;> a ja zgubilem minus

Hugo: w miedzy czasie pochodną y = (x−1)e^x y' = e^x + (x−1)e^x y' = 0 /dzieli przez e^x 1 + x − 1 = 0 x = 0 ekstrema minimalna w pkt (0, −e^x)

john2: To co napisałem o 16:38 było odpowiedzią na Twoje pytanie z 16:36, nie liczyłem tam pochodnej.

john2: Skąd ta druga współrzędna ekstremum?

Hugo: y'' = e^x + e^x + (x−1)e^x y'' = 0 /dzielimy przez e^x x = −1 pp ( −1, −2e^x)

Hugo: obliczylem z f(x) : > to sie podstawia (0... f(0) = (0 − 1) e^x

Hugo: ach ok

john2: Druga współrzędna ekstremum to −1

	−2
Druga współrzędna punktu przegięcia to
	e

Hugo: jak to druga jest jedno rozwiazanie

Hugo: a racja bo ja wydzielillem przez e^x a nie wolno potem dalem do jednego nawiasu i jest e^x(x+1) lece do goscia trzymaj kciuki dzieki wielkie !

john2: możesz dzielić przez e^x drugą współrzędną ekstremum/punktu przegięcia wyznaczasz, podstawiając do wzoru funkcji odpowiednio x = 0 (minimum) i x = −1 (punkt przegięcia)

john2: tzn nie wolno dzielić we wzorze funkcji, ale w równaniu y = 0 lub nierówności y > 0, y < 0 możesz dzielić przez e^x, bo e^x > 0 zawsze.

Hugo: na kolokwium byly takie funkcjie ln(x²+1)

x2
x2+1

2x + arctg mysle ze dst bedzie oddalem mu 4 x a5

john2: dobrze, że żadnych sinusów, bo z nimi można się pogubić