dokładnie jedno przekształcenie daarko: Uzasadnić, że istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : R₁[x] → R₁[x], dla którego f(x) = 2x + 2, f(3 − x) = x + 7.

Gray: Aby zdefiniować przekształcenie liniowe wystarczy określić je na bazie przestrzeni. To pozwoli obliczyć jego wartość na dowolnym wektorze. Ponieważ funkcje e₀(x)=x oraz e₁(x)=3−x tworzą bazę R₁[x], zatem... koniec. Znamy wartości na bazie; znamy wszędzie.

daarko: a czemu one tworzą bazę? jak to sprawdzić

Gray: Są liniowo niezależne i generują całą przestrzeń R₂[x]. Linowa niezależność: czy z warunku αe₀(x)+βe₁(x)≡0 wynika, że α=β=0? Sprawdzamy: αe₀(x)+βe₁(x) = αx+β(3−x) = x(α−β) + 3β≡ ⇔ β=0 oraz α−β=0 ⇔ α=β=0. To oznacza, że są liniowo niezależne. Generowanie: czy każdy wielomian z R₂[x] jest kombinacją liniową e₀ i e₁? Sprawdzamy: czy dla dowolnych a,b∊R istnieją liczby α,β∊R, dla których ax+b=αe₀(x)+βe₁(x)? Liczymy: ax+b=αe₀(x)+βe₁(x) ⇔ ax+b = αx+β(3−x) ⇔ax+b = (α−β)x+3β ⇔ ⇔a=α−β oraz b=3β ⇔ β=b/3 oraz α=a + b/3, więc istnieją.