algebra liniowa uczeń120: Znaleźć bazę i wymiar jądra oraz bazę i wymiar obrazu przekształcenia liniowego f:ℛ⁴→ℛ⁴ f (x, y, z, t) = (x+y+z+2t; x−y+z+6t; x+y−z−4t; 2x+2y−2z) Proszę o pomoc, oraz powierzchowne wytłumaczenie postępowania w tego typu przykładach. Dziękuję, pozdrawiam

Eve: nie mam już dzis siły, gdzieś coś podobnego tutaj robiłam zajrzyj tu https://www.youtube.com/watch?v=C1LDt9s7new

Saris: f(x,y,z,t)=(0,0,0,0) (x+y+z+2t; x−y+z+6t; x+y−z−4t; 2x+2y−2z)=(0,0,0,0) Układ: x+y+z+2t=0 x−y+z+6t=0 x+y−z−4t=0 2x+2y−2z=0 x=y=z=t=0 Kerf={(x,y,z,t) ∊R⁴ : x=y=z=t=0} = {(x,x,x,x) : x=0} = Lin {(0,0,0,0)} ⇒ B_Kerf={(0,0,0,0)} ⇒ dim Kerf=1 dim R⁴ = dim Kerf + dim Imf ⇒ dim Imf = 4−1=3 Imf={(x+y+z+2t; x−y+z+6t; x+y−z−4t; 2x+2y−2z) : x,y,z,t∊R}={ x(1,1,1,2) + y(1,−1,1,2) + z(1,1,−1,−2) + t(2,6,−4,0) : x,y,z,t∊R} = Lin {(1,1,1,2), (1,−1,1,2), (1,1,−1,−2), (2,6,−4,0)} Wiemy jednak, że dim Imf = 3, więc te 4 wektory muszą być liniowo zależne i musimy wyznaczyć z nich 3 liniowo niezależne (najprościej Gaussem). Jednak skorzystamy z tego, że dim Imf=3 ⋀ Imf − podprz. przestrzeni R² Imf = R², więc B={(1,0,0), (0,1,0, (0,0,1)} jest bazą przestrz. Imf. Nie ręczę za to rozwiązanie i najlepiej jakby ktoś ogarniający dobrze ten temat mnie poprawił albo zaaprobował PS np Gray

Saris: nie R² tylko R³ na końcu

Gray: Jeżeli jądro to faktycznie {(0,0,0,0)} (nie sprawdzałem tego) to dim kerf = 0; nie posiada ono bazy. Wówczas Imf = R⁴.