przekształcenie liniowe misio23: Uzasadnić, że istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe, które spełnia podane warunki: α:R³ → R₁[x] α((1,3,4))=2x+1 α((0,1,2))=2 α((1,1,−1))=x−3

Gray: Wyznacznik macierzy 1 3 4 0 1 2 1 1 −1 to −3≠0. To oznacza, że wektory (1,3,4), (0,1,2), (1,1,−1) są bazą R³. Odwzorowanie f jest więc określone na bazie przestrzeni (w sposób jednoznaczny). Musi więc być jedyne.

misio23: A jak wyznaczyc wzór tego przekształcenia?

Gray: Dużo pisania. Zapisz wektory (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) jako kombinacje liniowe wektorów (1,3,4), (0,1,2), (1,1,−1) to Ci pomogę

misio23: no właśnie tego nie wiedziałem, jak zapisać jako kombinacje liniową A czy ten wzór to będzie taki α(a,b,c)=a(4x−5)+b(−2x+2)+cx ?

Gray: Jeżeli chcesz mieć wzór w bazie kanonicznej (tak zwykle jest) to nie. Będzie trochę więcej liczenia. Można inaczej (np. przez macierz przejścia), ale można i tak. Oznaczmy: e₁=(1,3,4), e₂=(0,1,2), e₃=(1,1,−1) Wówczas, po rozwiązaniu trzech układów liniowych: (1,0,0)=3e₁−7e₂−2e₃ (0,1,0)=−2e₁+5e₂+2e₃ (0,0,1)=e₁−2e₂−e₃ Stąd: f(a,b,c)=af(1,0,0)+bf(0,1,0)+cf(0,0,1) =a[3f(e₁)−7f(e₂)−2f(e₃)] + + b[−2f(e₁)+5f(e₂)+2f(e₃)] + +c[f(e₁)−2f(e₂)−2(e₃)]= = a(6x+3−14−2x+6)+b(−4x−2+10+2x−6)+c(2x+1−4−2x+6)= =a(4x−5) + b(−2x +2) +3c = (4a−2b)x + 2b+3c−5a. Podsumowując: f(a,b,c)= {x→(4a−2b)x + 2b+3c−5a}, czyli trójce liczb (a,b,c) przyporządkowujemy wielomian h(x)=(4a−2b)x + 2b+3c−5a. Koniec.

misio23: Dzieki bardzo a jak wyznaczyć macierz tego przekształcenia M_B^A(α) gdzie A=((1,3,4), (0,1,2), (1,1,−1)), B=(x,1)