przekrój ostrosłupa xyz: Przez krawedz AB podstawy ostroslupa prawidłowego trojkatnego ABCD poprowadzono płaszczyznę, do której należy środek S krawędzi CD. Wiedząc, że otrzymany przekrój tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45°, oblicz cosinus kąta ASB. W odpowiedziach: 5\11 Bardzo proszę o pomoc.

Eve: rozpracowałam rysunek, ale mam za dużo niewiadomych

Eve:

Tadeusz:

a√3		h
	=
6		4

i teraz masz tylko jedną ... i da się policzyć kąt przekroju

xyz: Nie rozumiem tego drugiego rysunku.

Tadeusz: to ten przekrój

Eve: aha, to sobie skomplikowaliśmy zadanko

Tadeusz: Nie Ewe ... Twój rysunek jest ok Ja opisując swój pierwszy rysunek niezręcznie się wyraziłem. Ten pierwszy szkic to szczegół zarysowany na czerwono Twojego rysunku.

Eve: aha, myślałam, że źle wyznaczyłam przekrój

groszek: Rysunek Evę jest nieporady. Tadeuszu, znasz się na rysunku, że autorytatywnie stwierdzają, że rysunek jest ok?

Mila: Rysunek Eve , bardzo dobry. Uwaga Tadeusza cenna. Brak oznaczeń. Nie mogę dać dalszej wskazówki.

Eve: ale oznaczenia są standardowe, od lego dolnego wierzchołka, niezgodnie z ruchem wskazówek zegara

Mila: Zrobić nowy rysunek?

Eve: się nie męcz

groszek: Tu są poprawne rysunki: www.matemaks.pl/stereometria.php

Tadeusz: ...groszek ... płacą ci chociaż grosze za tą kryptoreklamę?

Mila: α=45^o

	1		1	a√3		a√3
|EO|=		* |OC|=			=
	2		3	2		6

	1
SK||OC i |SK| =		* |OC|
	2

	a√3
ΔEOP≡ΔPKS− Δprostokątne równoramienne o przyprostokątnych równych
	6

	a√3		a√3
|SM|=|EM|=|OK|=2*		=
	6		3

⇔

	a√3*√2		a√6
|ES|=		=		ponieważ ΔEMS−Δprostokątny równoramienny
	3		3

	a√6		a2
|BS|2=(		)2+
	3		4

	11a2
|BS|2=
	12

Dalej z tw. cosinusów: ∡ASB=β a²=2|BS|²−2|BS|²*cosβ Dokończy xyz

groszek: Dla mnie to obca strona i przed chwilą znalazłem ją przez GOOGLE. Nie ma co się obrażać. Rysunek to ważny element rozwiązania.

xyz: Bardzooooo wam dziękuję (w szkole próbowaliśmy zrobić to zadanie przez dwie lekcje i nie wyszło).

Mila: Co trzy głowy to nie jedna.

Bogdan: Podłączam się do trzech głów, co cztery głowy, to nie trzy

	1
r − długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, r =		*2a√3 ⇒ a = r√3
	6

w = 2r√2, c = √a² + w² = √3r² + 8r² = r√11,

	w		2r√2		2√2
cosα =		=		=
	c		r√11		√11

	8		5
cos2α = 2cos2α − 1 = 2*		− 1 =
	11		11

Mila: Witam, Bogdanie, też tak rozwiązywałam, ale ze względu na cos (2α) "włączyłam" sposób jak zapisałam. Pozdrawiam. Właśnie przyszedł do mnie uczeń.

Bogdan: Również pozdrawiam

Kacper:

Bogdan: Jeśli podający zadanie nie określa, na jakim poziomie pracuje (podstawowym, czy rozszerzonym), to nie rezygnuję z dogodnego i upraszczającego rozwiązanie narzędzia.

Bogdan: ale jeśli bez cos2α, to skorzystamy z pola trójkąta ABS (zostawiam miarę 2α i inne oznaczenia z moich rysunków):

	1
Pole P =		c2*sin2α oraz P = a*w
	2

1		4√6
	c2sin2α = a*w ⇒ 11r2*sin2α = 2*r√3*2r√2 ⇒ sin2α =
2		√11

cos2α = √ 1 − sin²α = ...