odwzorowania liniowe Saris: Skonstruuj nastepujace endomorfizmy: a) f : R4 → R4 taki, ze Kerf = Lin{u1, u2} i Imf = Lin{v1, v2}, gdzie u1 = (1, 1,−1, 0), u2 = (1, 1, 0, 1), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1, 0); b) f : R3 →! R3 taki, ze Imf = Lin{v1, v2}, gdzie v1 = (1, 3, 2), v2 = (3,−1, 1); c) L : R[x]2 → R[x]2 taki, ze KerL = Lin{1−x} i ImL = Lin{1+ x, 1+ x²}. (1) Niech f : R[x]2 → R[x]2 bedzie odwzorowaniem takim, ze

	(x+1)2
(f(P))(x) = −		P''(x) + (x + 1)P'(x), gdzie P ∊ R[x]2.
	2

a) Sprawdz, ze f jest endomorfizmem w R[x]2 i ze f  f = f; b) Znajdz Kerf, Imf oraz ich bazy; c) Wykaz, ze R[x]2 = Imf  Kerf; (2) Niech g : R[x]2 → R3 bedzie odwzorowaniem takim, ze g(P) = (P(1), P'(1), P''(1)). Wykaz, ze g jest izomorfizmem i znajdz g−1. Pomógłby ktoś za metodą, żebym wiedział jak dokładnie robić tego typu zadania?

Saris: c) Imf + Kerf (plus w kółku)

Gray: Które chcesz? Na wszystkie nie mam czasu.

Saris: Obojętne. Może być 2.

Gray: To jest akurat najłatwiejsze i najciekawsze Wystarczy sprawdzić, czy g jest różnowartościowe (bo wówczas będzie już bijekcją). Aby to wykazać, wystarczy sprawdzić, czy kerg={0}. Tak oczywiście jest, gdyż z równości g(P)=(0,0,0) wynika, że P(1)=P'(1)=P''(1)=0, a to ze wzoru Taylora pozwala wnioskować, że P(x)≡0. Odwzorowanie odwrotne h:R³ → R₂[x] dane będzie wzorem h(a,b,c) = a + b(x−1) +

	1
		c(x−1)2. To wynika ze wzoru Taylora. Możesz sprawdzić, czy jest OK, tj. czy złożenie h
	2

i g daje identyczność.

Saris: Znaczy miałem na mysli drugie jako (1)(2) bo to śa podpunkty 2 zadania Ale dzięki mimowszystko.

Gray: Odnośnie pierwszej części: a) Endomorfizm = liniowość + "V→V". Liniowość jest natychmiastowa, "V→V" wynika z definicji f. Drugiej części nie rozumiem − co tam napisałeś? b) Jądro: pytamy, dla jakich funkcji P(x)=ax²+bx+c, f(P)=0. Mamy: f(x→ax²+bx+c) = a(x+1)²+(x+1)(2ax+b) = 3ax² + (4a + b)x + a + b. Wielomian 3ax² + (4a + b)x + a + b≡0 ⇔ a=b=0, c może być dowolne. Stąd ker f = {wielomiany stopnia 0}, kerf = lin{e₀}, gdzie e₀(x)=1. Jeżeli chodzi o obraz to łatwiej najpierw wyznaczyć jego bazę. Imf = lin {f(x→x), f(x→x²)}. f(x→x) = x+1 f(x→x²) = −(x+1)² +2x(x+1) = (x+1)(x−1) Bazę Imf są więc e₁(x)=x+1, e₂(x)=(x+1)(x−1) Stąd Imf = {wielomiany stopnia co najwyżej 2, które zerują się w x₀=−1} Warunek Imf ⬠ kerf = R₂[x] jest natychmiastowy: każdy wielomian stopnia drugiego jest kombinacją liniową elementów bazy kerf oraz ImF, oraz częścią wspólną Imf oraz kerf jest jedynie wielomian zerowy. Dużo tu różnych twierdzeń po drodze wykorzystuję; jak masz pytania − odpowiem.

Saris: a) f o f = f

Saris: Dzięki wielkie.

Gray: To tego Ci tu nie napiszę... To jest proste, ale pisania masa. Dla ustalonego P, f(P(x)) jest wielomianem stopnia 2, więc możesz oznaczyć go powiedzmy jako h(x) i obliczyć znowu f(h(x)). To będzie Twoje złożenie. Kupa pracy bo dwa razy pochodną iloczynu trzeba będzie liczyć. Chyba, że... przejdziesz na macierze Koniecznie! Wtedy f o f to mnożenie dwóch macierzy o wymiarze 3x3 macierzy. Chyba się nie powstrzymam... Weźmy bazę e₀(x) = 1, e₁(x) = x, e₂(x)=x². f(e₀) = 0e₀+0e₁+0e₂ f(e₁) = x+1 = 1e₀+1e₁+0e₂ f(e₃) = −(x+1)²+2x²+2x = x²−1 = −1e₀+0e₁+1e₂ Macierz ma więc postać: A= 0 1 −1 0 1 0 0 0 1 Oblicz A². To będzie już prawie koniec.

Gray: Teraz dopiero doczytałem do końca: masz wykazać, że f o f =f. Tak jest bo A²=A

Saris: Dla mnie to abstrackja za wysokie wody, ale to w sumie ostatnie zadanie z zestawu i na kolokwium/egzaminie raczej nie będzie.

Gray: Czy chcesz mi powiedzieć, że moje pianie poszło na marne...

Saris: nieee. ale raczej bym calego sam nie zrobil. Jesus, jak to można zrozumieć. Mało jest przykładów z takich albo nie wiem gdzie szukać .

kyrtap: Gray jakim cudem to wszystko kumasz? czuję się taki tępy

Cra: Mógłby ktoś rozwiązać podpunkt a) z konstrukcji endomorfizmów?

Cra: Jakaś mądra i dobra duszyczka pomoże?

Metis: Przydałby się Gray