Nierówności Neeed haaaalp: Potrzebuję podpowiedzi do rozwiązania poniższego zadania. Udowodnić nierówności.

	1
1) cos(x)>1−		x2 dla każdego x>0
	2

	1
2) ex>1+x+		2 dla każdego x>0
	2

3) e^x>1+x dla każdego x<0 4) ln(1+x)<=x dla każdego x>=0

	1
5) |arctgx − arctgy| <=		|x−y| dla wszystkich x,y∊(2,∞)
	5

Zakładam, że trzeba tutaj podstawiać, ale po prostu nie mam pomysłu i się kręcę w kółko.

Neeed haaaalp:

	1
Oj. W drugim przykładzie powinno być		x2
	2

Eve: a co podstawiasz?

Neeed haaaalp: W pierwszym to kombinuję z funkcjami trygonometrycznymi np tą jedynkę zamieniam na sin²x+cos²x. W 3 próbuję się bawić ze wzorami na znane granice. A w pozostałych to nie mam zielonego pojęcia

Eve: 3. e^x−1>x e^lnex−e^ln1>e^lnx lne^x−ln1>lnx ln(Ue^x}{1}>lnx e^x>x, x<0

1		1
	>−x, bo		>0
ex		ex

Eve: 4. z def ln: e^x≤1+x i robisz jak w 3

Eve:

	1
2. elnex>e{ln(		x2+x+1)
	2

	1
lnex−ln(		x2+x+1)>0
	2

	ex
ln		>0
	1   x2+x+1 2

	1
Δ<0, a>0		x2+x+1>0 dla każdego x
	2

Neeed haaaalp: dziękuję

Eve: sorki, reszta mnie chyba przerosła ale pomyslę