potega amator: 10ⁿ + 5 jest podzielne przez 15. Z góry dziękuję.

amator: Proszę o nierozwiazywanie tylko naprowadzenie mnie

Kacper: No jest

Kacper: Jakie metody znasz? Kongruencje, indukcja, inne?

amator: potrzebuje wytłumaczyć to matematycznie

ICSP: ups ...

ICSP: Skorzystaj z tego, ze 10ⁿ + 5 = 10ⁿ − 10 + 15

amator: Hmm w sumie jestem w I klasie liceum, nie słyszałem o żadnej z tych metod

amator: Dzięki ja robiłem to tak 10ⁿ−1 * 10 + 5 i nic mi to nie dało

amator: Wyszło mi 10(10⁽n−1)−1)+ 15 tylko co dalej?

ICSP: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia − drugi wzór od dołu

amator: Nie za bardzo wiem jak użyć tutaj tego wzoru

ICSP: 10ⁿ⁻¹ − 1ⁿ⁻¹

amator: Chyba sie poddam, w życiu nie widziałem takiego wzoru, liceum to chyba był błąd.

ICSP: Możemy też spróbować inaczej Zadanie pomocnicze : Udowodnij, że 10ⁿ⁻¹ + 2 jest podzielne przez 3. Dla naturalnego n

amator: To też na podstawie tego wzoru?

ICSP: Nie Teraz chcę zaproponować rozwiązanie nie wykorzystujące tamtego wzoru.

ICSP: Tylko do tamtego rozwiązania potrzebuje właśnie powyższej podzielności

amator: 2(10ⁿ−1*5+1)

amator: Edit: 2(10ⁿ−2 * 5+1), ale nic nie udowodniłem

ICSP: Skorzystaj z cechy podzielności przez 3

Bogdan: 10ⁿ + 5 ile wynosi suma cyfr tej liczby i jaka jest jej ostatnia cyfra?

ICSP: Witaj Bogdan

amator: 6 suma, ostatnia cyfra to 5

ICSP: nie komplikujmy sobie życia 10^{n − 1} + 2 i teraz zastosuj cechę podzielności przez 3. Uzasadnienie ma być słowne

amator: czyli wystarczyło wykorzystać cechy podzielnosci? dziękuję Wam za poświęcony czas

amator: 1+2 =3 liczba dzieli sie przez 3 jesli suma jej cyfr jest podzielna przez 3

ICSP: ale pamiętaj, że to nadal nie jest rozwiązanie twojego zadania

ICSP: ale naprodukuj się troszkę Niech opis rozwiązania będzie ładny, aby sprawdzający nie musiał się domyślać o co ci chodzi.

amator: Czyli nie wystarczy uzasadnienie slowne? A mogę to zapisać tak: 15|10ⁿ + 5 ⇔ 3|10ⁿ + 5 ∧5|10ⁿ + 5 3|1+5=6 ∧5|5 P. ∧ P. =P.

ICSP: Wystarczy uzasadnienie słowne, ale musi być napisane porządnie. 10ⁿ + 5 = 10ⁿ + 20 − 15 = 10(10ⁿ⁻¹ + 2) − 15 I trzeba pokazać, że 10ⁿ⁻¹ + 2 jest podzielne przez 3. Najprościej jest to zrobić słownie, ale nie w taki sposób : "1 + 2 = 3 dzieli się przez 3 bo 3 jest podzielne przez 3"

amator: A to co napisałem potem może być?

ICSP: 3|10ⁿ + 5 ∧ 5|10ⁿ + 5 skąd nagle dostajesz : 3|1 + 5 = 6 ∧ 5 | 5 ?

amator: Ponieważ 1 + 5 to suma cyfr, a 5 to odstatnia cyfra tej liczby. 10ⁿ to będzie 1 i n zer, a po dodaniu 5 do zera ostatnią cyfrą będzie na pewno 5.

ICSP: Wreszcie zaczynasz opisywać, ale nadal nie jest to taki ładny opis 3 | 10ⁿ⁻¹ + 2 Zauważmy, że 10ⁿ⁻¹ jest liczbą w postaci 100...00 gdzie ilość zer jest równa (n − 1) Suma cyfr takiej liczby jest zatem równa : 1 + 0 * (n−1) = 1 Suma cyfr liczby 10ⁿ⁻¹ + 2 jest równa 1 + 2 = 3 , ponieważ 3 | 3 to liczba 10ⁿ⁻¹ +2 jest liczbą podzielną przez 3, czyli ∃_{k ∊ Z} 10ⁿ⁻¹ + 2 = 3k Dalej mamy: 10ⁿ + 5 = −15 + 10(10ⁿ⁻¹ + 2} = −15 + 10 * 3k = −15 + 30k = 15(2k − 1) = 15 k₁ gdzie k₁ = 2k − 1 ∊ Z

amator: Czyli to już koniec zadania?

ICSP: Koniec

amator: Bardzo dziękuję za poświęcony czas. Jeśli mogę sie spytać; duży fragment życia musiał Pan poświęcic na dojscie to takiej formy matematycznej?

Kacper: Ja nie wiem po co ICSP upierasz się przy tym 10ⁿ⁻¹+2?

Kacper: Ja rozpisze tylko rozwiązanie Bogdana 10ⁿ − liczba, której suma cyfr wynosi 1 10ⁿ+5 − liczba, której suma cyfr wynosi 6, zatem jest ona podzielna przez 3. Liczba ta, jest także podzielna przez 5, bo jej ostatnia cyfra to 5. Skoro liczba jest podzielna przez 3 i przez 5, to wynika z tego, że jest podzielna przez 15. c.k.d

ICSP: Lubię wykorzystywać mniejsze podzielności w celu udowadniania większych Zresztą podzielność 3 | 10ⁿ + 2 warto znać

Kacper: