nierówność john2: √(1 − x²)³ − 3x²√1 − x² > 0 Jak to rozwiązać? Moja propozycja: D: x ∊ <−1,1> ( √1 − x² )³ − 3x²√1 − x² > 0 √1 − x² * [ ( √1 − x² )² − 3x² ] > 0 √1 − x² * [ 1 − x² − 3x² ] > 0 √1 − x² * (1 − 4x²) > 0 √(1 − x)(1 + x) * (1 − 2x)(1 + 2x) > 0 √−( x − 1)(1 + x) * [− (2x − 1)(2x + 1)] > 0

	1		1
√−(x − 1)(x + 1) * [ −4(x −		)(x +		) ] > 0
	2		2

	1		1
−4*√−(x−1)(x+1) * (x −		)(x +		) > 0
	2		2

	1		1
x1 = −1, x2 = −		, x3 =		, x4 = 1
	2		2

I teraz robię wężyk zgodnie ze schematem https://matematykaszkolna.pl/strona/142.html zaczynając od dołu?

J: x = − 1 oraz x = 1 nie spełniają nierówności

Eve: dobrze

john2: Fakt. Wtedy lewa strona jest zerem. Zatem co zrobić tym pierwiastkiem, ignorować go? Podzielić przez niego nie mogę, bo może być zerem. Podnieść do kwadratu nie mogę bo nie znam znaku (1 − 4x²)

john2: I czy mam uwzględnić −1 i 1 przy rysowaniu wężyka, czy nie

Eve: masz uwzględnić, określiłeś dziedzinę, rozwiązałeś, znajdź przedziały +

john2: Tylko właśnie. Gdy uwzględniam − 1 i 1, to rozwiązanie to:

	1		1
(−1, −		)∪(		,1)
	2		2

Gdy nie uwzględniam −1 i 1

	1		1
rozwiązanie to (−		,		) i takie rozwiązanie podaje wolfram
	2		2

Eve: juz wiem, wyciągnij −1 spod pierwiastka

john2: Tylko na jakiej zasadzie? √−(x−1)(x+1) = √−1 * √(x−1)(x+1) = hmm

Eve: gdzieś jest błąd, ale nie umiem go znaleźć, masz rację to głupota z tym −1

Eve: w zasadzie, poco zajmujemy się pierwiastkiem? √1−x²>0 w dziedzinie zatem musimy sprawdzić 1−4x²>0 −4x²+1>0 −(4x²−1)>0 4x²−1<0 tu tkwi błąd

ICSP:

	1		1
−4 * √−(x−1)(x+1) (x −		)(x +		> 0
	2		2

Zauważa, że −1 i 1 nie spełniają nierówności więc dzielę przez −4√−(x−1)(x+1) < 0 dostając:

	1		1
(x −		)(x +		) < 0
	2		2

skąd

	1		1
x ∊ (−		,		)
	2		2

ICSP: "Jeżeli x,y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi to zachodzi: √xy = √x * √y " rozpisanie : √−(x−1)(x+1) = √−1 * √(x−1)(x+1) nie ma wiec sensu.

Eve: wiem, wiem, za szybko napisałam, zanim pomyślałam

Kacper: D: x∊<−1,1> √1−x²=t ⇒ 1−x²=t² ⇒x²=1−t² mamy: t³−3t(1−t²)>0 t³−3t+3t³>0 4t³−3t>0 t(4t²−3)>0 t(2t−√3)(2t+√3)>0

	√3		√3
t>		lub −		<t<0
	2		2

To drugie odpada oczywiście, ze względu na to, że t≥0

	√3
Zatem t>
	2

	√3
√1−x2>
	2

	3
1−x2>
	4

	1		1
x∊(−		,		)
	2		2

Krótko, zwięźle i na temat

john2: No tak. Rozumiem, rozumiem. Dziękuję Wam za pomoc.

Eve: wniosek: zanim zacznę sprawdzać czyjeś rozwiązanie, sama go znajdę

Kacper: ewentualnie tak: ...

	1		1		1
√1−x2*(1−4x2)>0 ⇒ 1−4x2>0 ⇒x2<		⇒ x∊(−		,		)
	4		2		2

Szybciej

john2: