Granica ciągu rekurencyjnego
jn45: Dany jest ciąg rekurencyjny:
x1=1
xn+1=1+√xn+5, n>=1
Obliczyć jego granicę
23 sty 17:58
Gray: Aktualne?
23 sty 18:24
jn45: Tak, byłbym wdzięczny za pomoc
23 sty 22:11
Saizou :
Złóżmy że
xn+1→a przy n→+∞, wówczas xn→a przy x→+∞, zatem
a=1+√a+5
rozwiąż i sprawdź jaki to ciąg
xn+1−xn=....
23 sty 22:22
Gray: Najpierw należy wykazać, że ciąg jest zbieżny. Można skorzystać z tw. o ciągu monotonicznym i
ograniczonym. Na początek ograniczoność.
Widać, że dla n∊N: xn≥1 ← formalnie wymaga to dowodu indukcyjnego, ale on jest w tym przypadku
banalny.
Widać również, że dla n∊N: xn≤4. To udowodnię. Dowód oczywiście indukcyjny,
1o Dla n=1 OK, tj. x1=1≤4.
2o Zakładamy, że xn≤4. Pytamy czy również xn+1≤4.
Rozumuję tak:
xn+1 = 1+√xn+5 ≤ założenie indukcyjne ≤ 1+√4+5 = 4.
Stąd wnioskujemy, że xn≤4 dla wszystkich n∊N.
Teraz monotoniczność: zauważmy najpierw, że dla x≥1 mamy
1+√x+5 ≥x ⇔ √x+5 ≥ x−1 ⇔ x+5 ≥(x−1)2 ⇔ x2 −3x −4 ≤0 ⇔ (x+1)(x−4)≤0 ⇔ x∊[1,4].
Stąd, ponieważ pokazałem, że dla n∊N: 1≤xn≤4 zatem mogę napisać, że
xn+1 = 1+√xn+5 ≥xn.
To oznacza, że ciąg xn jest niemalejący i jako ograniczony od góry jest zbieżny; oznaczmy jego
granicę przez a, tj. xn→a.
Jego granicę "a" wyznaczamy tak jak zasugerował Saizou:
przechodząc w równaniu xn+1 = 1+√xn+5 z n→∞ otrzymujemy
a=1+√a+5 ⇒ patrz wyżej ⇒ a=4.
Koniec.
23 sty 22:35