Podprzestrzeń, Baza, Współrzedne, rzut ortogonalny Leon: Cześć. Mam nadzieje, ze pomożecie koledze. Potrzebuje rozwiązać takie zadanie, bo nie jestem pewny czy dobrze. "Sprawdzić, że {f: f(0) = 0, f(1) − f'(1) = 0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianu stopnia 2. Znaleźć bazę i wymiar. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora f(x) = x na tę podprzestrzeń, gdy w przestrzeni wielomianu iloczyn skalarny wprowadzony jest wzorem f o g = f(−1)g(−1)+f(0)g(0)+f(1)g(1) Miłe widziane komentarze co się robi. A zaraz dodam swoje rozwiązanie nie pełne. 1) sprawdzamy czy jest to podprzestrzeń Bierzemy dwa dowolne wektory f,g∊U oraz dwa dowolne α,β∊R f(0) = 0, f(1) − f'(1) = 0 g(0) = 0, g(1) − g'(1) = 0 Sprawdzamy czy αf + βg ∊ U (αf + βg)(0) +(αf+βg)(1) + (−αf − βg)'(1) = αf(0) + βg(0) + αf(1) +βg(1) −αf'(1) − βg'(1) = 0 dla α = 0, β = 0 Szukamy bazy i wymiaru f(x) = ax² +bx + c f(0) = 0 f(0) = c = 0 c = 0 f(1) = a + b + c = a + b f'(x) = 2ax + b f'(1) = 2a + b f(1) − f'(1) = 0 a+ b − (2a + b) = 0 a + b −2a − b = 0 −a = 0 −a = a = 0 V = { ax² + bx + c : a = 0, c = 0 b ∊ R } b = 1 −> w1(x) = x b = 0 −> w2(x) = 0 1) czy w1, w2 są liniowo nie zależne ? 2) U = lin {w1,w2} Sprawdzamy czy są liniowo nie zalezne Bierzemy dowolne α1,α2 ∊R Zakładamy, że α1w1 + β2w2 = 0 Szukamy α1,α2 takie, że α1 = α2 = 0 −> liniowo niezalezne α1w1 + β2w2 = 0 ∧(x∊R) α1w1(x) + α2w2(x) = 0 ∧(x∊R) α1x + α2*0 = 0 ∧(x∊R) α1x = 0 α1 = 0 α2 ∊R Sprawdzamy czy U = lin{W1,w2} bx = α1x α1 = b czyli = lin {x,0} I mam wrażenie że coś namieszałem, a rzutu ortogonalnego nie umiem Proszę o pomoc, błagam