Obliczyć całkę wymierną: :#62;: Obliczyć całkę wymierną:

	3x+5
∫		dx
	x5+2x3+x

Rozłożyłam mianownik na x(x²+1)², ale po rozkładaniu na ułamki proste i innych takich utkwiłam w miejscu :<

Saris: ohydna całka. pokaż jak rozpisałaś równanie na ułamki proste.

:#62;:

3x+5		A		Bx+C		Dx+E
	=		+		+
x(x2+1)2		x		x2+1		(x2+1)2

B i C wyszło zero, D=−5, A=5, E=3 i znając życie pewnie gdzieś się walnęłam xD Wyszło więc:

5		−5x+3
	+
x		(x2+1)2

Saris: no to jesli masz dobrze policzone te wspolczynniki to pierwsza jest elementarna a druga robisz znowu przez wspolczynniki albo przeksztalc tak licznik aby byl pochodna mianownika (wyrazenia w nawiasie). w tedy za x²+1 podstawiasz t. i wyjdzie jakis ln|x²+1| i całka z stala przez ten wielomian 4 stopnia, i chyba tamta calke bedziesz musiala znowu zrobic przez ulamki proste... wiec chyba najszybciej od razu przez ulamki proste.

Saris: znowu przez ułamki proste*

:#62;: To drugie jak rozłożyłam na ułamki proste taką metodą to wychodzi to samo...

:#62;: Jeszcze spróbuję jakoś przez podstawianie.

Saris: zle tam napisalem nie wyjdzie ln|x²+1| tylko całka t⁻² gdzie t=x²+1

Saris: rzeczywiscie to samo wychodzi.

Dawid: A(x²+1)²+(Bx+C)(x(x²+1))+(Dx+E)x A(x⁴+2x²+1)+(Bx+C)(x³+x)+Dx²+Ex Ax⁴+A2x²+A+Bx⁴+Bx²+Cx³+Cx+Dx²+Ex 0=A+B 0=C 0=2A+B+D 3=C+E 5=A Zatem: A=5 B=−5 C=0 D=−5 E=3

Dawid: Coś takiego chyba ?

:#62;: No tak. Walnęłam się przy współczynniku A.

:#62;:

	−5x+3
No nic, liczyłam dalej i tak czy siak wychodzi potem ∫		dx i nie wiem jak ją
	(x2+1)2

policzyć.

:#62;: Próbowałam przez podstawienie za x² t, przez przekształcanie licznika na mianownik, ale co bym nie zrobiła, odpowiedź w zbiorze różni się od mojej... Chyba że coś źle robię xD

:#62;: Licznika na pochodną tam miało być xD

Saris:

	−5		2x		x2+1		x2
zrob tak		*∫		dx +3*(∫		dx−∫		dx)
	2		(x2+1)2		(x2+1)2		(x2+1)2

wszystkie całki policzysz bez problemu. Ostatnia przed czesci u=x, dv=reszta

:#62;: Dwie pierwsze zrobiłam bez problemu, ale trzecia mi nie wychodzi... Jak to przez części zrobić? :<

Dawid:

	−5x+3
∫		dx to ta ostatnia ?
	(x2+1)2

:#62;: Nie, chodzi o to z ostatniej odpowiedzi Sarisa.

	x2
∫		dx
	(x2+1)2

Saris: no przez czesci jak napisałem u=x dv=v'=U{x}/{(x²+1)²} Wylicz u' i v i według wzoru. Już powinnaś widzieć jak pójdzie.