g.: za pomocą kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregów: całkowicie nie wiem jak się za to zabrać. nie rozumiem tego "rozbicia" szeregu na an i bn. mógłby ktoś mi to wytłumaczyć? mam przykład: n+3 ------ = 2n²

b.: No bo to kryterium jest trudne i wymaga doświadczenia np. tutaj - może najpierw idea - licznik jest ,,rzędu n'', a mianownik ,,rzędu n²'', więc całość jest ,,rzędu 1/n'' No a szereg 1/n jest rozbieżny. Potrzebujemy więc szacować z dołu: (n+3) / (2n²) ≥ n / (2n²) = (1/2) * 1/n ≥ 0 (*) szereg 1/n jest rozbieżny, więc nasz szereg też rozb. (*) jeśli nie wiesz, dlaczego sprawdzamy, że oszacowaliśmy przez coś ≥ 0, zobacz na założenia kryterium porównawczego.

g.: ufff, pocieszyłeś mnie tym, że jest trudne i wymaga doświadczenia gorzej jakby było łatwe i ja bym tego nie rozumiała... czyli tutaj w tym przypadku powyżej ciągiem bn jest 1/n ? a ciągiem an cały przykład, tak? mam też przykład 1 ------------- n - √n +1 spróbowałam go zrobić. 1 1 1 ------------- ≥ -------------- ≥ --------- n - √n +1 n - √n n a 1/n jest rozbieżny, więc cały ciąg jest rozbieżny... mam też taki. mogę go rozbić na 3ⁿ/5ⁿ i 4ⁿ/5ⁿ ? 3ⁿ + 4ⁿ ----------- 5ⁿ no i jeszcze jeden. nie wiem co ma być na końcu.... i w ogóle nie wiem skąd to 2n. przykład robiłam wg podobnego przykładu z książki... √n+2 - √n+1 n+2 - n - 1 1 --------------------- = -------------------- = --------------------- = n n(√n+2+√n+1 n(√n+2+√n+1 √n+2 ≥ √n+1 czyli an = 1 / n(√n+2+√n+1) mniejsze od 1/ 2n √n+1

b.: ,,czyli tutaj w tym przypadku powyżej ciągiem bn jest 1/n ? a ciągiem an cały przykład, tak?'' Nie wiem, to zależy, co nazwiesz a_n, a co b_n... Przykład 1. Pierwsza nierówność jest nieprawdziwa. Mamy 1 1 1 ------------- = -------------- ≥ --------- n - √n +1 n + (1- √n) n bo 1-√n≤0 dla n naturalnych. ,,a 1/n jest rozbieżny, więc cały ciąg jest rozbieżny... '' nie ciąg, tylko szereg, ale reszta ok 2. mam też taki. mogę go rozbić na 3n/5n i 4n/5n ? 3ⁿ + 4ⁿ ----------- = (3/5)ⁿ + (4/5)ⁿ 5ⁿ i masz sumę dwóch szeregów (geometrycznych) zbieżnych. 3. robiłaś i nie wiesz skąd się 2n wzięło? √n+2 ≥ √n+1 => √n+2+√n+1 ≥ 2√n+1 no i stąd ta 2.

g.: 1. ok szereg, przejęzyczenie 2. i mogę sobie policzyć jeden z nich (nazwijmy go an = (3/5)ⁿ)np. z kryterium Cauchy'ego i będzie lim= 3/5 a to jest mniejsze od 1 więc szereg jest zbieżny. i co za tym idzie z kryt. porównawczego reszta też. Tak? 3. patrzyłam na podobny przykład w książce... i co mam dalej napisać w tym przykładzie?

b.: 2. nie, reszta jeszcze nie wiadomo, bo (3/5)ⁿ + (4/5)ⁿ > (3/5)ⁿ, więc ze zbieżności szeregu po prawej stronie NIE wynika zbieżność tego po lewej. Popatrz jeszcze raz na kryt. porównawcze. Suma 2 szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym - i tyle. (Ale zbieżność ∑(4/5)ⁿ trzeba i tak pokazać) A jeśli koniecznie chcesz porównawcze, to 0 < (3/5)ⁿ + (4/5)ⁿ < 2* (4/5)ⁿ i sprawdź zbieżność szeregu ∑ 2* (4/5)ⁿ. 3. Dalej musisz stwierdzić, że ∑1/ 2n√n+1 jest zbieżny - dlaczego? (Wsk. dla jakich a szereg ∑ 1/n^a jest zbieżny?)

g.: 2. sprawdzam zbieżność szeregu ∑ 2* (4/5)n wg. kryt. Cauchy'ego i mam 4/5. czyli szereg jest zbieżny. 3. chodzi Ci o szereg harmoniczny rzędu alfa tak? dla a > 1 ? czyli będzie 1 / 2 (n+1)^1/2 ? czyli 1/ 2n^3/2? czyli szereg jest zbieżny?

b.: 2. zgadza się nawiasem mówiąc, szereg geometryczny to i bez kryterium C. chyba wiadomo, kiedy jest zbieżny? 3. zgadza się. zbieżny, tylko jeszcze trzeba jakoś uzasadnić, dlaczego zamiast 1/2n√n+1 bierzesz 1/2n^3/2 - w końcu to niezupełnie to samo. Najwygodniejsze jest pewnie kryterium ilorazowe, choć tu łatwo też z porównawczego: 0 < 1/2n√n+1 ≤ 1/2n^3/2

g.: 2. no jak |q| mniejsze od 1 i większe od -1. jest 4/5 czyli pasuje. tak? 3. ok rozumiem. muszę z porównawczego, bo takie mam polecenie. czyli a=3/2 czyli zbieżny. a co z tym bezwzględnie zbieżny. mam policzyć to z modułem? bo chyba z modułem to będzie to samo...

b.: 2. tak; oczywiście jak wolisz, możesz używać kryterium C. 3. zgadza się, jak wyrazy szeregu są ≥ 0, to bezwzględna zbieżność to to samo co zbieżność.

g.: ok dzięki wielkie i jeszcze jeden, ostatni.... też muszę skorzystać z kryt. porównawczego ⁴√ n+3 ------------------- n⁵ + 3n² + 1 ten pierwiastek się odnosi do wszystkiego...

b.: zakładam, że pierwiastek jest z całego ułamka (o to Ci chodziło?) pod pierwiastkiem: licznik n+3 jest ,,rzędu n'' a mianownik ,,rzędu n⁵'', cały ułamek jest więc ,,rzędu 1/n⁴'', czyli pierwiastek jest rzędu 1/n spodziewamy się więc szeregu rozbieżnego. Trzeba więc szacować wyrazy od dołu, przez coś w rodzaju 1/n (niekoniecznie dokładnie 1/n, może wyjść np. 1/2n lub 1/(n+3) itp. )

g.: tak o to mi chodziło, że pierw. z całego ułamka. właśnie wydedukowałam, że będzie 1/n a mogę napisać tak? ⁴√ n+3 ⁴√1/n⁴ = 1/n - rozbieżny. ------------------- < n⁵ + 3n² + 1

b.: widzisz, po to się najpierw zastanawiamy (zgadujemy), czy szereg będzie zbieżny, czy rozbieżny, żeby wiedzieć, z KTÓREJ STRONY chcemy szacować jeśli pokażesz, że 0 < a_n < 1/n to z tego nic nie wynika o zbieżności ∑a_n musisz pokazać np., że a_n > 1/n, i z tego wyniknie rozbieżność ∑a_n tzn. trzeba tu szacować z dołu: a_n ≥ ... (dla porównania: np. jeśli pokaże się, że 0 < b_n < 1/n², to ∑b_n jest zbieżny)

g.: ale to jest głupie, wrrr.... czemu ja to muszę zgadywać... ⁴√ n+3 ⁴√1/n⁴ = 1/n - rozbieżny. ------------------- > n5 + 3n2 + 1 wstawiłam za n=1 i jest 4/5 > 1/4....

b.: no nie musisz, ale jak się zgadnie, to od razu wiadomo, jakiej nierówności potrzebujesz... a skąd wzięłaś tą nierówność w poprzednim poście? chciałabyś, żeby tak było ale czy tak jest sprawdzenie dla n=1 nie wystarczy, musi zachodzić dla wszystkich n (przynajmniej od pewnego miejsca) Np. można tak: n+3 n ---------------------- > ------------------------- = 1/(5n⁴) n⁵+3n²+1 n⁵+3n⁵+n⁵ i to wystarczy, żeby dostać rozbieżność. Tutaj wygodniej byłoby użyć kryterium ilorazowego - znasz?

g.: coś tam o nim czytałam.... czyli to co napisałeś wyżej to jest jakby rozwiązaniem? zwątpiłam w swoje możliwości z tym przykładem

b.: no jest to rozwiązanie, jedno z wielu możliwych

g.: straszne... naprawdę... czyli to będzie 1/5n i to świadczy o rozbieżności tak?

g.: 1/5 * 1/n - rozbieżny.

b.: właśnie tak, ∑1/5*1/n = 1/5 * ∑1/n jest rozbieżny, a a_n ≥ 1/5n ≥ 0, więc z kryt. por. również ∑a_n jest rozbieżny

g.: ogromne dzięki

akka: n + 2 / n³ − 2n +3 jaki to szereg ? zbiezny? jak to policzyc?

Jack: zbieżny, również szacuj.

pola: bardzo prosze o pomoc w zrobieniu tych przykładow: − szereg od n=1 do ∞ 1/√n ln(√n+1/√n) −szereg od n=2 do ∞ 1/nlnn −szereg od n=1 do∞ 1/n √sin1/n