Zadanie z całek. Saris: Witam. Mógłby ktoś naprowadzić mnie na metodę rozwiązywanie tego typu zadań? Nie chodzi mi o rozwiązanie tylko teoretyczne rozjaśnienie problemu i metody, bo czuję się trochę jakbym liczył to na ślepo. Z tą ciągłością itd. Wyznacz funkcję Φ(x) = ∫ ]−∞, x] f(t)dt, jeśli f(x) = k{e^2xcosx gdy x≤0

	5
&		gdy x>0}.
	x3+4x2+9x+10

Czy funkcja Φ(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na zbiorze R (czyli dziedzinie)? Odpowiedź uzasadnij. Dzięki za pomoc. Dobranoc.

Saris: e2xcosx gdy x≤0 f(x) =

	5
		gdy x>0
	x3+4x2+9x+10

Saris: e do potegi 2x oczywiscie

Godzio: ∫_−∞^xf(t)dt f(x) = e^2xcosx i x ≤ 0 Φ(x) =

	5
∫−∞xf(t)dt f(x) =		i x > 0
	x3 + 4x2 + 9x + 10

Tak?

Godzio: Podaj definicję funkcji pierwotnej.

Saris: mhm. Problem policzenia pochodnych nieoznaczonych jest prosty, ale pozniej zaczyna sie zabawa z szacowaniem stalej aby funkcja byla ciagla. nie bardzo sie w tym lapie. tak zevym na 100% wiedzial ze ide dobra droga. raczej na czuja.

Saris: Def: f: I→R I⊆R Mówimy ze funkcja F: I→R jest funkcja pierwotna funkcji f ⇔ ∀x∊I F'(x)=f(x)

Godzio: No dobra, czyli jak wyliczymy całki to musimy sprawdzić, czy funkcja jest różniczkowalna w 0 bo tylko w tym punkcie może być jakiś problem. Pierwsza całka:

1
	e2x(sin(x) + 2cos(x))
5

Druga całka:

1		x + 1		(x + 2)2		π
	(arctg		+ ln		+		)
2		2		x2 + 2x + 5		2

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem. No i trzeba sprawdzić czy pochodna w 0 istnieje.

Godzio: Jeszcze moment, bo chyba mały błąd mam, który jest dość istotny.

Saris: pochodna tych całek? a kiedy mam obliczyc calki oznaczone.

Saris: pochodna w punkcie x₀ istnieje jesli lim x−>x₀+/− z ilorazu roznicowego sa sobie rowne?

Godzio: Dobra, pierwsza całka:

	1
∫e2tcos(t)dt =		e2t(sin(t) + 2cos(t))
	5

	1
∫−∞x(...) =		e2x(sin(x) + 2cos(x))
	5

Druga:

	5		1		t + 1		(t + 2)2
∫		dt =		(arctg		+ ln		)
	t4 + 4t2 + 9t + 10		2		2		t2 + 2t + 5

∫_−∞^x = ∫_−∞⁰ + ∫₀^x = (*) Dla pierwszej całki bierzemy naszą pierwszą funkcję.

	1
(*) =		e2x(sin(x) + 2cos(x))|−∞0 +
	5

	1		t + 1		(t + 2)2
+		(arctg		+ ln		)|0x =
	2		2		t2 + 2t + 5

	2		1		x + 1		(x + 2)2		1		4
=		+		(arctg		+ ln		) −		(ln		+
	5		2		2		x2 + 2x + 5		2		5

	1
arctg		)
	2

Ostatecznie:

	1
		e2x(sin(x) + 2cos(x)) dla x ≤ 0
	5

Φ(x) =

	2		1		x + 1		(x + 2)2
		+		(arctg		+ ln		)
	5		2		2		x2 + 2x + 5

	1		4		1
−		(ln		+ arctg		) dla x > 0
	2		5		2

Coś takiego.

Godzio: I teraz badamy różniczkowalność w 0. Ja bym tak zrobił, aczkolwiek głowy uciąć sobie nie dam

Basiek: Godzio się nie uczy...

Godzio: Właśnie wracam do nauki, 5h się już uczyłem, dłuższa przerwa nie zaszkodzi

Basiek: W sumie i tak zdasz.

Godzio: W sumie potrzebuję cudu.

Basiek: To potrzebujemy dwóch.

Draghan: ...trzech?

Basiek: No, może jeden do zdania matmy nie wystarczy.

Godzio: Wzbogacę Twoją wiedzę ... Wymiar Hausdorffa płatka śniegu to log₃4

Basiek: Krzywa Kocha i fraktale?

Godzio: Ano...

Basiek: Fajne filmy na yt są.

Godzio: Bo fraktale są "fajne"

Basiek: Ciekawe!

Saris: Wie ktoś dokładnie jak robić takie zadanie? Gdzie badać ciągłość, gdzie różniczkowalność? To zadanie z egzaminu i to idzie jakoś z górnej granicy całkowania. Nie chodzi mi o liczenie tego tylko metodę.

Saris: .

Saris: Gray poratuj.

Gray: Mam deficyt czasowy. Kazano wyznaczyć Φ? Kto Ci to zrobił (chodzi mi o przypadek x<0)? Twoja funkcja Φ jest różniczkowalna tam, gdzie funkcja f jest ciągła. f nie jest ciągła w x₀=0, więc Φ nie musi tam być różniczkowalna. Φ nie musi więc być pierwotną dla f. Aby to stwierdzić jednoznacznie, moim zdaniem, trzeb by chyba tę Φ wyznaczyć i zbadać jej pochodną w x₀=0. Chyba, że jest jakieś twierdzenie o którym nie słyszałem, które mówiłoby coś o pierwotnej w punktach w których f nie jest ciągła.

Gray: Już wiem, że może być różnie w punktach, w których f nie jest ciągła: Φ może być różniczkowalna, ale nie musi (mam przykłady).

Saris: to jest wiadomo, mi chodzi jak obliczać tą całkę oznaczoną na tym śmiesznym przedziele, bo Φ też będzie miała przedziały, prawda? To co całka od −∞ do 0 (otwarte) z górnego wzoru i całka od 0 do x z drugiego wzoru?

Saris: Dobra to ja to widze tak: fi(x)= dla x<=0 całka od −∞ do 0 z wzoru dla x<=0 dla x=0 jakaś liczba dla x=0 (i wtedy chyba wyżej może być x<0, albo zostawić <= ale nie pisać dla 0) dla x>0 całka od −∞ do 0 z wzoru dla x<=0 + całka od 0 do x z wzoru dla x>0 Teraz muszę sprawdzić czy jest różniczkowalna w 0 (czyli jednak potrzebuje tego rozdziału "dla x=0", tak?) i sprawdzam czy jest różniczkowalna w zerze, bo w innych przedziałach jest jako funkcja elementarna ciągła. Czyli badam iloraz różnicowy w 0+/0−, jeśli jest równy to ma pochodną w tym punkcie czyli całej dziedzinie i jest pierwotną funkcją dla f(x). Twierdzenie mówi, że jeśli f jest całkowalna na [a,b] to: 1. fi jest ciagla w [a,b] 2. jezeli fi ciagla w otoczeniu x₀ to fi rozniczkowalna w x_o oraz fi'(x)=f(x) ale f nie jest ciagla na calym przedziale [a,b], wiec nie skorzystamy z tego tw, tylko musimy wykazac ze tak bedzie lub nie?, jesli bylaby ciagła, od razu mogłbym załozyc ze fi(x) ciagła na [a,b], a jesli to tak to rózniczkowalna w x₀ i jest pierwotna względem f(x). Dobrze to rozumuje?

Saris: .

Gray: Tak.