Rozwinięcie e^{ax} w szereg Taylora - proszę o sprawdzenie Q.: Proszę o pomoc! Szereg Taylora sprawia mi niemały kłopot, a tu mam rozwinąć funkcję e^ax wokół 0... jak? Ogólnie jest, że f(x)=f(a) + (x−a)/1! * f'(a) i tak kolejne potęgi i pochodne, prawda? więc tutaj będę miała... f(x)= e⁰ + x/1! * e^ax + x/2! * e^ax ... ?

Godzio: Nie do końca. Zaraz wytłumaczę.

Godzio: Mamy funkcję f(x) i chcemy ją rozwinąć w szereg Taylora z resztą R_n wokół punktu x₀. Zapisujemy:

	f'(x0)		f'(x0)		f(n)(x0)
f(x) = f(x0) +		(x − x0) +		+...+		(x−x0) + Rn
	1!		2!		n!

	f(n+1)(ξ)
gdzie Rn =		(x − x0)n+1, a ξ to punkt pośredni między x0, a x.
	(n + 1)!

No to pierwsza rzecz jaką musimy policzyć to pochodne, a następnie wzór ogólny opisujący pochodną n − tego rzędu. x₀ = 0 f(x) = e^ax f(0) = e^{a * 0} = e⁰ = 1 f'(x) = ae^ax f'(0) = ae^{a * 0} = ae⁰ = a f''(x) = a²e^ax f''(0) = a²e^{a * 0} = a²e⁰ = a² f'''(x) = a³e^ax f'''(0) = a³e^{a * 0} = a³e⁰ = a³ No to chyba wzór ogólny już widać: f⁽ⁿ⁾(x) = aⁿe^ax f⁽ⁿ⁾(0) = aⁿ f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = aⁿ⁺¹e^ax f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = aⁿ⁺¹e^a*ξ Zapisujemy:

	a		a2		an
f(x) = 1 +		(x − 0) +		(x − 0)2 + ... +		(x − 0)n + Rn
	1!		2!		n!

Ostatecznie:

	a2		an		an+1ea*ξ
f(x) = 1 + ax +		x2 + ... +		xn +		xn+1
	2		n!		(n+1)!

Q.: Ojejku, nie wiem, jak ja mogłam taką głupotę strzelić z tym obliczaniem kolejnych pochodnych, chyba o tej godzinie mój mózg już słabo funkcjonuje. Wydaje mi się, że teraz już zdecydowanie bardziej to rozumiem, dziękuję.

Godzio: