obliczanie całki nadzieja: Jak obliczyć całkę? przez przekształcenia algebraiczne sprowadzić do całek podstawowych: ∫cos²x dx Jak mam to obliczyć?

PW:

	⎧	cos2x + sin2x = 1
	⎩	cos2x − sin2x = cos2x

nadzieja: tyle to też wiem hehe

Dawid: cos2x=cos²x−sin²x cos2x=cos²x−1+cos²x cos2x=2cos²x−1 2cos²x=cos2x+1

	cos2x+1
cos2x=
	2

Dawid: i już masz prostą całkę

PW: nadziejo, a co to za głupie "hehe"? Gdybyś tylko zechciała ruszyć głową i obliczyć całki obu stron tych równości, to rozwiązanie dałoby i całkę cos²x, i całkę sin²x. Czy Dawidowi też odpowiesz "tyle to też wiem hehe"? Zrobił to samo, tyle że "kawa na ławę". A jak jutro będziesz miała obliczyć ∫sin²xdx, to już nie pytaj.

nadzieja: PW jakiś ty mądry, gdybym wiedziała jak to obliczyć przy korzystaniu z tych wzorów to już dawno bym to wyliczyła, chyba to logiczne. A skoro napisałam tutaj to zadanie, które jest jednym spośród wielu to znaczy, że tego nie rozumiem i chciałabym, że ktoś to wytłumaczył, a nie podał mi wzory które już dawno mam w zeszycie. Nie, jeśli Cię to interesuje, to odpowiedziałabym mu, że nadal nie wiem jak to zrobić... i nie czekam aż ktoś mi to wyliczy a ja to spisze i tyle, tylko chcę to zrozumieć. Mam z tego egzamin w weekend i chcę to zrozumieć a nie spisać i byle zaliczyć więc sorry ale daruj sobie takie teksty...

Dawid: Gdy mamy sin/cos do parzystej potęgi to korzystamy z tego wzoru co podałem cos²x=cos²x−sin²x chcemy wyznaczyć cos²x więc sin²x zastępujemy wzorem z jedynki. Więc sin²x=1−cos²x potem przekształcenia proste. Ostatecznie otrzymujemy

	cos2x+1		1
∫cos2xdx=∫		dx=		∫(cos2x+1)dx= ... juz chyba wiesz?
	2		2

nadzieja: i co mam dalej z tym zrobić? Nie było mnie na tych zajęciach i nie rozumiem tego.. muszę to jakoś rozdzielić i wyciągnąć z każdej pochodną czy jak?

	1		1
mam tylko podany wynik:		x+		sin2x+C i nie wiem skąd ten wynik? początek, ten co
	2		4

napisałeś to rozumiem, tylko nie wiem co mam dalej z tym zrobić..

Dawid: Wyciągamy 1/2 przez całkę i mamy 1/2∫(cos2x+1)dx Rozbijamy na dwie całki 1/2∫cos2xdx+1/2∫dx Mamy całki elementarne 1/2*1/2sin2x+1/2x+C Ostatecznie 1/4sin2x+1/2x+C

nadzieja:

	1
ok, rozumiem teraz. Mam tylko jedno jeszcze pytanie: skąd wziąłeś tą		sin2x ?
	2

Dawid:

	1
∫cosaxdx=		sinax+C
	a

nadzieja: Ok, dziękuję Ci bardzo Dawid teraz trochę to rozumiem już te całki

Dawid: jak coś to pisz tutaj

nadzieja: Dawid a jeśli np. mam całkę:

	√x3+1
∫		dx to jak mam to wyliczyć?
	√x+1

muszę to rozłożyć tak:

	√x3		1
∫		dx + ∫		dx i później pochodną z tego ?
	√x+1		√x+1

Dawid: przez podstawienie można chyba t²=x 2tdt=dx

nadzieja: tylko że ja mam to przez przekształcenia algebraiczne zrobić...

ICSP: √x³ + 1 = (√x + 1)(x − √x +1) dla x ≥ 0

Bogdan: Wzór skróconego mnożenia: a³ + 1 = (a + 1)(a² − a + 1)

nadzieja: i co dalej z tą całką się dzieje?

Dawid: Skracasz i masz 3 calki

nadzieja: a co mogę skrócić?

nadzieja: a ok, widzę już

nadzieja: dziwny wynik mi wychodzi.... czy to powinno być: ∫xdx−∫√xdx+1∫dx ?

nadzieja:

	1		2
a powinien wyjść:		x2−		x32+x+C
	2		3

nadzieja: tam jest 2/3 x do 3/2

nadzieja: ok juz dałam radę sama