Algebra -podprzestrzenie jakubs: Zbadać, które z następujących podzbiorów R² i R³ są podprzestrzeniami wektorowymi: a)A{(x,y,z): x+y=2z} wybieram u=(x₁,y₁,z₁) ∊A i v=(x₂,y₂,z₂) ∊A x₁+y₁=2z₁ ⋀ x₂+y₂=2z₂ Póki co ok ?

Gray: OK.

jakubs: Co teraz dalej u+v=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) i jak to dalej wykazać ?

jakubs: ?

jakubs: Zbadać liniową zależność wektorów (1,2) (2,−4) w ℛ. Gdybym miał ℛ², to ok, ale w ℛ to nie wiem jak się za to zabrać.

kyrtap: normalnie α₁(1,2) + α₂(2,−4) = (0,0)

kyrtap: jak wyjdzie że α₁ i α₂ = 0 to wektory są niezależne jeśli różne od zera to liniowo zależne

jakubs: To jaka jest w takim razie różnica między R i R² ? Bo mam zbadać liniową niezależność(zależność) w R²(R) wektorów (1,2) (2,−4)

kyrtap: nie powinno być tam R²?

kyrtap: albo ja majaczę albo błąd w zadaniu

jakubs: Według mnie R², ale nie wiem co prowadząca miała na myśli przez taki zapis.

kyrtap: według mnie też R²

Gray: Musi być w R². Może autor napisał: zbadać liniową zależność wektorów nad R?

jakubs: Treść jest taka jak napisałem 20:55. Gray pomógłbyś z 19;24 ? Nie mam pojęcia jak się za takie coś zabrać. Chyba, że są jakieś inne metody.

Gray: Kiedy u+v∊A?

jakubs: Kiedy będą spełniać te dwa warunki.

Gray: Nie. Tylko jeden: A={(x,y,z): x+y=2z}. u+v=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)∊A ⇔ x₁+x₂+y₁+y₂ =2(z₁+z₂). Ale: x₁+x₂+y₁+y₂ = (x₁+y₁)+(x₂+y₂) = 2z₁+2z₂ = 2(z₁+z₂) Jeszcze warunek z mnożeniem przez skalar. (x,y,z)∊A ⇒^? α(x,y,z)∊A

jakubs: α(x₁,y₁,z₁) = αx₁+αy₁=α2z₁ α(x₁+y₁) =α2z₁

Gray: Zapis nieszczęśliwy: dla (x₁,y₁,z₁) ∊ A oraz α∊R mamy: α(x₁,y₁,z₁)=(αx₁,αy₁,αz₁). Ponieważ αx₁+αy₁=α(x₁+y₁) = α(2z₁) = 2(αz₁) ⇒ α(x₁,y₁,z₁)∊A. Ponieważ również (0,0,0)∊A, zatem A jest pod. liniową. Koniec.

jakubs: Dziękuję.

jakubs: Dla jakich wartości parametru α wektory (1,2,3) (3,2,1) (4,α,5) tworzą bazę R³. Liczę wyznacznik(Saruss): |123| |321| = 10+9α+8−24−12α−30 =−3α−36 |4α5| 123 321 Teraz sprawdzam kiedy wyznacznik ≠ 0. −3α−36≠0 α≠−12 OK ?

52: Raczej Ok. Bo żeby wektory tworzyły bazę to muszą być niezależne, a zatem ten wyznacznik ≠0

jakubs: Super dziękuję. Mam masę zadań od prowadzącej, ale odpowiedzi nie mam niestety i wolę się upewnić, bo do egzaminu już się uczę.

52: Powodzenia, ja mam niedługo z tego kolokwium...

jakubs: Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń V. a) u₁=(2,1,3) u₂=(1,0,2) u₃=(1,2,−1) V=ℛ³ Tutaj wyznacznik z tych wektorów obliczyłem i jest 1, czyli wektory są liniowo niezależne. Co dalej ? b) w₁=x→x+1 w₂=x→1+x² w₃=x→−1 V=ℛ[x]₂ Jak się za takie coś zabrać ?

jakubs: .

Eve: czy istnieje wektor, będący kombinacja liniową tych 3 wektorów

Eve: (x₁,x₂,x₃)=α(2,1,3)+β(1,0,2)+γ(1,2,−1)

jakubs: Teraz rozumiem układ równań: 2a+b+y=x₁ a+2y=x₂ 3a+2b−y=x₃

Eve: tak i pamiętaj, wektor musi być niezerowy

jakubs: Nie wiem jak taki układ rozwiązać, jakas wskazówka ?

Eve: dodaj 1 i 3

jakubs: 5a+3b=x₁+x₃

	1		3
a=		(x1+x3)−		b
	5		5

−4a−2b−2y=−2x₁ 2a+2y=2x₂ −2a−2b=2x₂−2x₁ a+b=x₁−x₂ 5a+3b=x₁+x₃ −5a−5b=5x₂−5x₁ −2b=−4x₁+5x₂+x₃

	5		1
b=2x1−		x2−		x3
	2		2

i teraz dalej wyznaczam a i y tak ? Ogólnie chce pojąć jak sprawdzać, czy wektory są bazą oraz czy wektory generują bazę. Niestety w zbiorkach Skoczylasa jest to(dla mnie) tragicznie wytłumaczone i nic z tego nie rozumiem. Czyli aby wektory były bazą przestrzeni wektorowych, wystarczy aby wyznacznik z nich był ≠0, aby wektory generowały przestrzeń tworzę kombinację liniową i sprawdzam, czy mogę uzyskać jakieś parametry a, b, c ... w zależności od x₁,x₂...x_n ile mam wektorów tak ? Bardzo proszę o ewentualne poprawienie mnie, bo jest to dla mnie bardzo ważne, bez tego dalej nie ruszę z nauką do egzaminu.

Eve: tak, popatrz sobie tu https://www.youtube.com/watch?v=WkrvMY01A7E

jakubs: Oglądałem to przed chwilką właśnie. Dziękuję

Eve:

jakubs: Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni wektorowej: V={(x,y,z,t) 2x−y+2t=0, x,y,z,t∊ℛ} Wyznaczam sobie y=2x+2t x=s t=u z=l {(s,2s+2u,l,u), s,u,l ∊ℛ}={s(1,2,0,0)+u(0,2,0,1)+l(0,0,1,0), s,u,l∊ℛ} = lim((1,2,0,0),(0,2,0,1),(0,0,1,0)) Wyznaczam rząd macierzy z tych wektorków i jest 3, zatem bazą V=((1,2,0,0),(0,2,0,1),(0,0,1,0)), dimV=3 OK ?

jakubs: .

starosta: .

52: Mnie uczono żeby sprawdzić jeszcze czy wektory które tworzą bazę są liniowo niezależne.

jakubs: Tak też zrobiłem, rząd macierzy z tych wektorów wyszedł 3 i dlatego też dimV=3. Reszta ok ?

52: Też bym tak zrobił

jakubs: Układzik: x+z+u=0 y−z=0 3t=0 x y z t u 1 0 1 0 1|0 0 1 −1 0 0|0 0 0 0 3 0|0 u=α z=β t=0 y=β x=−α−β OK ?

jakubs: .

jakubs: Znaleźć odwzorowanie liniowe f: X→Y jeśli: X = R², Y=R³ f(1,1)=(1,2,0), f(0,1) = (0,−1,3) Jak się za takie coś zabrać ?

Gray: Aktualne?

jakubs: Poradziłem sobie jakoś, ale dziękuję .

Gray: Ja liczyłbym tak: f(1,0) = f((1,1)−(0,1)) = f(1,1) − f(0,1) = (1,2,0) − (0,−1,3) = (1,3,3) Stąd f(x,y) = f((x,0)+(0,y)) = f(x,0) + f(0,y) = xf(1,0) + yf(0,1) = x(1,3,3) + y(0,−1,3) = = (x,3x−y,3x+3y) Koniec.

Gray: Oczywiście f(1,0) = (1,2,−3) ...., czyli f(x,y)= (x,3x−y,−3x+3y)

jakubs: Podobny wynik mam, tylko ja przyjąłem zamiast x i y, x₁ i x₂, myślę, że to będzie również poprawne.

Gray: Jasne.

jakubs: hmm, a takie cos: Skonstruować odwzorowanie liniowe f:R³→R³ Kerf={(x,y,0),x,y∊R}, Imf=lin((0,0,−1)) Wyznaczę sobię Kerf ? Kerf=lin((1,0,0),(0,1,0)) Jak się tym dalej zająć ?

Saris: Chyba nie możesz sobie tak Kerf wyznaczyć, bo z odwzorowania możliwe, że x zapiszesz jako y lub na odwrót, wtedy dim Kerf będzie 1, a nie jak u Cb 2. Pewny jednak nie jestem Dopiero się tego uczę, ale dziwne zadanie bo trzeba to od tyłu rozkminić .

Gray: Takich f jest nieskończenie wiele. Liczę jak poprzednio: f(x,y,z) = f(x,0,0)+f(0,y,0)+f(0,0,z) = xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1) = ... (1,0,0),(0,1,0)∊kerf .... = zf(0,0,1) =... f(0,0,1)∊Imf =lin{(0,0,−1)} ⇒ f(0,0,1)=α(0,0,−1), dla pewnego α∊R .... = αz(0,0,−1) =(0,0,−αz). Podsumowując: f(x,y,z)=(0,0,αz), gdzie α∊R\{0} jest dowolne.

jakubs: Dziękuję

Gray: No problem.

jakubs: Mam wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego: R³→R³ f(x,y,z)=(x−y,x+z,z−y) B=((1,1,1),(1,1,0),(−1,0,0)) f(1,1,1)=(0,2,0) f(1,1,0)=(0,1,−1) f(−1,0,0)=(−1,−1,0) (0,2,0)=α₁(1,1,1) + α₂(1,1,0) + α₃(−1,0,0) α₁=0 α₂=2 α₃=2 Podobnie wyznaczam resztę: α₄=−1 α₅=2 α₆=1 α₇=0 α₈=−1 α₉=0 Macierz : 0 −1 0 2 2 −1 2 1 0 Bardzo proszę o sprawdzenie

Gray:

jakubs: Dziękuję

jakubs: Na podstawie wyznaczonej macierzy, określić własności f. Szukam w sieci, ale nic znaleźć nie mogę, szukałem również w książce Algebra Liniowa 2 Skoczylasa. Jak określać własności mając macierz odwzorowania?

Saris: eee ale co masz tylko macierz? Daj dokladne polecenie.

jakubs: No właśnie w treści zadania jest, żeby na podstawie wyznaczonej macierzy podać własności odwzorowania. Mając odwzorowanie, spokojnie bym sobie poradził, ale z macierzy to nie wiem jak

Saris: Bardzo teoretyczne pytanie wg mnie. Jeśli f: V→W odwz. liniowe a A macierz odwzorowań w bazach B₁, B₂ (A=M_f(B₁,B₂)) to rz(f)=rz(A) rz(f)=dim Imf dim Kerf + dim Imf = dim V (V pewnie dane, więc masz za free dim Kerf) Nic innego nie przychodzi mi do głowy jeśli masz nie korzystać z własności odwzorowania, np. tego że jest endorfizmem. to wtedy dałoby z 2 własności dla macierzy.

Saris: dim V < ∞

Saris: to założenie.

jakubs: Dzięki

Gray: Mając macierz odwzorowania liniowego, mamy pełną informację o tym odwzorowaniu. Ponieważ detA≠0 zatem odwzorowanie jest różnowartościowe (jest monomorfizmem). Skoro tak, to jest też suriekcją (epimorfizmem) i bijekcją (izomorfizmem). Jądro składa się tylko z zera, tj. kerf={(0,0,0)} a obrazem jest R³.

jakubs: Wyznaczyć odwzorowanie liniowe R³→R³. f(1,0,0)=(0,1,1) f(0,1,1)=(−1,1,−1) f(−1,1,−1)=(2,−2,2) Jak się za to zabrać ?

Saris: (x,y,z)=α(1,0,0)+β(0,1,1)+γ(−1,1,−1) Wylicz αβγ f(x,y,z)=f(α(1,0,0)+β(0,1,1)+γ(−1,1,−1))=αf(1,0,0)+βf(0,1,1)+γf(−1,1,−1)=α(0 ,1,1)+β(−1,1,−1)+γ(2,−2,2)= (−β+2γ , α+β−2γ , α−β+2γ)

jakubs: Dzięki !

jakubs: Ostatnie.... Mam macierz odwzorowania A w bazach B₁ i B₂ −1 3 4 0 0 −1 0 1 0 0 −1 −2 B₁=((1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)) B₂=((3,2,1),(3,2,0),(−3,0,0)) Wyznaczyć A'−macierz f w bazach kanonicznych. Nie wiem jak się za to zabrać.

jakubs: . Help dzisiaj egzamin

Saris: Już nie mam siły tego pisać. Analogicznie https://www.youtube.com/watch?v=tyobdMkj9sE&index=28&list=PLF8PguZpg3XQoO7QWVRRY5SqzxjunUeIk

Saris: Wyznaczysz odwzorowanie sobie a jak juz masz odwzorowanie to chyba umiesz znalesc macierz odwzorowania? Podstawiasz wektor z B₁' i zapisujesz jako kombinacje liniową wektorów z B₂' Bazy kanoniczne to (1,0,0,0) , (0,1,0,0) itd. (1,0,0) (0,1,0) itd.