ciągłość Bogdan:

	⎧	x2 dla x≠0
Czy funkcja y=	⎨		ma ekstremum w punkcie x=0.Uzasadnij,
	⎩	5 dla x=0

john2: Dołączam się do pytania. Ja bym obstawiał, że ma maksimum lokalne. Funkcja nie jest ciągła w punkcie x = 0, ale czy musi być? Patrząc na wykres tej funkcji można znaleźć takie otoczenie punktu x = 0, że wszystkie wartości funkcji w tym otoczeniu będą mniejsze od wartości funkcji w punkcie x = 0.

Gray: Tak. Uzasadnienie johna2 jest wystarczające.

john2: Dzięki za potwierdzenie.

Bogdan: Nie można tego jakoś uzasadnić algebraicznie (matematycznie) ?

john2: Nie wiem. Jeśli mielibyśmy udać, że nie znamy wykresu f(x) = x², może wziąć otoczenie np. (−1,1), Pokazać pochodną, że f maleje dla x ∊(−1,0) i rośnie dla x∊(0,1) i obliczyć granicę f(x) przy x − > −1⁺ i x − > 1⁻ to chyba dowiedziecie, że funkcja w tym otoczeniu jest pod wartością 5

john2: Inaczej: dowiedzie, że największą wartością funkcji w tym otoczeniu jest 5

Gray: Funkcja x→x² ma dla x=0 minimum (globalne) równe zero. Tzn., że dla każdego dostatecznie małego otocznia punktu x=0, funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż z góry zadana liczba dodatnia. Liczbą tą może być np. 5. Zmieniając teraz wartość funkcji w punkcie x=0 z 0 na 5, otrzymujemy, że w tych otoczeniach wartość 5 jest największą z wszystkich przyjmowanych przez funkcję f. Z definicji jest to maksimum lokalne.