granica asia:

	1
Wykaż na podstawie def. Cauchy'ego prawdziwość granicy lim x→∞		=0
	x+1

PW: Jeśli to ma być prawda, to zgodnie z definicją dla dowolnej ε > 0 należy pokazać istnienie liczby n₀∊N, takiej że dla wszystkich x >n₀ spełniona jest nierówność

	1
(1) |		− 0| < ε.
	x+1

Dowód. Dla x>−1 ułamek

	1
	x+1

jest dodatni, zatem (1) ma postać

	1
		< ε.
	x+1

	1
x + 1 >
	ε

	1
x >		− 1
	ε

	1 − ε
x >		.
	ε

	1 − ε		1 − ε
[		] jest liczbą naturalną mniejszą lub równą		, zatem szukaną liczbą n0
	ε		ε

jest np.

	1 − ε
(2) [		] + 1.
	ε

Koniec dowodu. Formalista może się czepiać, że dla ε > 1 liczba (2) może być ujemna, to wtedy powiemy − w takim razie n₀ = 0 (nierówność (1) jest spełniona dla wszystkich x >0). Sens granicy polega jednak na tym, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnie małych ε, więc niech się nie czepia.