Wzór Taylora/Maclaurina Saris:

	x2		x3		1
Oszacuj dokładność wzoru przybliżonego ln(1+x)≈x −		+		dla |x|<
	2!		3!		5

Korzystając z tw. taylora oblicz cos9 stopni z dokladnoscia do 0,0001. Mógłby ktoś mi dokładnie wytłumaczyć jak robić tego typu zadania? Będę to miał na 90% na egzaminie. Skąd mam wiedzieć na ile wyrazów rozwinąć szereg, żeby szacować tę resztę?

Saris: bump.

PW: Toż pokazali nawet to rozwinięcie. Twoim zadaniem jest napisać resztę dla tego rozwinięcia i oszacować ją − reszta to błąd przybliżenia.

Saris: ale obliczyc na koncu mam cale rozwiniecie?

Saris: policzyłem drugi przykład: cos9 st. = cos π/20 dokładność do 10⁻⁴ niech x₀=0 f(x)=cosx f(0)=1 f'(x)=−sinx f'(0)=0 f''(x)=−cosx f''(0)=−1 f'''(x)=sinx f'''(0)=0 f⁴(x)=cosx f⁴(0)=1

	f'(0)		f''(0)		f'''(0)		f4(c)
Wzór taylora: f(x)=f(0) +		x +		x2 +		x3 +		x4
	1		2		3!		4!

c∊(0;x)

	π		π   ( )2   20		cos c		π
cos		= 1 −		+		* (		)4
	20		2		24		20

	π		π   ( )2   20
cos		≈ 1 −		= 0,987662...
	20		2

c∊(0; pi/2)

	cos c		π		1		π		1
|R3(x)|=|		* (		)4| ≤		* (		)4 ≤		* (0,2)4 =
	24		20		24		20		24

	1		1		1
		*(		)5 =		* 10−4
	24		5		1,5

Czy to jest dobrze? Jeśli nie co jest źle. Czuje sie jakbym liczył to na oślep...

Saris: help. check.

Saris: .

PW:

1
	·10−4 < 10−4, dobrze.
1,5

Saris: Mógłby ktoś mi sprawdzić 1 zadanie? Będę mieć analogiczne na egzaminie.

	1		1
x∊(−∞;=		) ∪ (		; ∞)
	5		5

Niech x₀=0 f(x)=ln(1+x)

	1
f'(x)=
	1+x

	−1
f''(x)=
	(1+x)2

	2
f3(x)=
	(1+x)3

	−6
f4(x)=
	(1+x)4

c∊(0;x)

	f'(x0)		f4(c)
f(x)=f(x0)+		(x−x0)+ ... +		(x−x0)4
	1!		4!

	x2		x3		6   − x5   (1+c)4
ln(1+x)=ln1+x−		+		−
	2		3		24

	−(1+c)−4*x4		1   (1+0)−4*( )4   5		1
|R3(x)|=|		|<		=		=0,0004 <−− szuany bład
	4		4		2500

Saris: .

Saris: .