Badanie funkcji pinokio2: Sprawdzić własności funkcji (iniekcja, suriekcja, bijekcja) f:ℛ→ℛ f ∧ ∀₍x∊R) f(x) = ^2x_x²+1 (to nie minus przy 2x) Mam problem z tym zadaniem, proszę o pomoc.

pinokio2: :(

kyrtap:

	−2x
tak ta funkcja wygląda f(x) =
	x2+1

pinokio2: bez minusa przy w liczniku

kyrtap:

	2x
f(x)=
	x2+1

injekcja Zał :Niech x₁ ≠ x₂ ⋀ x₁ , x₂ ∊ Df = R\{−1} Teza : f(x₁) ≠ f(x₂) ⇒ f(x₁) − f(x₂) ≠ 0 Dowód:

	2x1		2x2
f(x1) − f(x2) =		−		=
	x12+2		x22+2

	2x1(x22+2) − 2x2(x12+2)
		dalej pociągnij i zapisz co otrzymałeś
	(x12+2)(x22+2)

pinokio2: x₁(x₂²+1) = x₂(x₁²+1) z tego wynika że funkcja nie jest iniekcją ? surikekcję mogę zbadać poprzez wyznaczenie funkcji odwrotnej i podstawienie jej za x do wzoru funkcji ?

pinokio2: raczej będzie problem z funkcja odwrotną

kyrtap: na wiele sposobów może badać czy funkcja jest injekcją ja skorzystałem z definicji

kyrtap: ty akurat użyłeś dowodu nie wprost

kyrtap: znajdź funkcję odwrotną i sprawdź dziedzinę i przeciwdziedzinę i sprawdź czy się pokrywa z tą właściwą jeśli tak to jest surjekcją

ICSP: Iniekcja, suriekcja, bijekcja ... funkcji f : R → R Może zacznijmy trochę niestandardowo, wybierzmy dowolnie x ze zbioru liczb rzeczywistych. Wtedy na pewno zajdą poniższe nierówności: −(x+1)² ≤ 0 ≤ (x − 1)² które po rozpisaniu : −x² −2x −1 ≤ 0 ≤ (x−1)² dodajemy 2x −(x² + 1) ≤ 2x ≤ (x² + 1) i dzielimy przez x² + 1 które w naszej dziedzinie jest zawsze > 0

	2x
−1 ≤		≤ 1
	x2 + 1

Czyli f na pewno nie jest suriekcją na R, nie jest również bijekcją. Pozostaje iniekcja. Zauważam, że f(1) = 1 − jest to największa wartość. Zatem wartości z lewej strony 1 i z prawej strony 1 muszą być albo równe 1 albo mniejsze od 1. W każdym z tych przypadków f nie będzie iniekcją, problem jedynie w tym, że takie rozumowanie nie jest uznawane jako dowód. To co nam na prawdę dało jest przypuszczenie

	1
że f nie jest iniekcją. Weźmy jakąś liczbę ze zbioru wartości f, np		i postarajmy się
	2

wyliczyć odpowiadające jej x (bądź x)

1		2x
	=
2		x2 + 1

4x = x² + 1 x² − 4x + 1 = 0

	1
Δ = 12 > 0 ⇒ [ ∃x1, x2 ∊ Df , x1≠x2 f(x1) =		= f(x2) ] ⇒ f nie jest iniekcją.
	2

Trzy razy nie. Dziękujemy i dobranoc

pinokio2: Wow, otworzyliście mi oczy Za bardzo ograniczałem się schematami. Dzięki wielkie, życzę wam obu spokojnej nocy !