Zbadać różniczkowalność danej funkcji f(x). Arco: Zbadać różniczkowalność danej funkcji f(x) w punkcie x0=0. f(x)= { x³, x<=0 {e⁻1/x, x>0 (e do pot. −1/x) W jaki sposób obliczyć granicę prawostronną pochodnej f'(x). Otrzymuje symbol nieoznaczony i nie potrafię sobie z nim poradzić. Z góry dzięki za pomoc.

Gray:

	e−1/h		h−1
f'+(0) = limh→0+		= limh→0+		=H
	h		e1/h

	−h−2		1
=limh→0+		=limh→0+		=0
	−h−2e1/h		e1/h

Arco: Dzięki za odp. Mam tylko 1 pyt., czy w mianowniku tej granicy nie powinno być h² ?

Gray: Nie. Pochodna 1/h to −1/h² − pojawia się i w liczniku i w mianowniku, więc się redukuje.

Arco: Nie wiem czy dobrze zrozumieliśmy się. Chodzi mi o sam początek, tam gdzie jest e⁻1/h/h , czy tam nie powinno być w mianowniku h² ? Rozumiem, że tam linijka poniżej jest to liczone z twierdzenie de L'Hospitala? Proszę o poprawke jeśli źle myślę (dopiero zaczynam pochodne). Pozdrawiam.

Gray: Tam jest OK. Twoja funkcja to e^−1/x, dla x>0. Tam nie będzie h².

Arco: Ale pochodna tej funkcji to e⁻1/h/h², dlaczego więc h, a nie h² ?

Gray: Pierwsza równość to rozpisanie definicji, tj.

	f(h)−f(0)
f'+(0)=limh→0+		=...
	h

i tu podstawiam f(h)=e^−1/h oraz f(0)=0 zgodnie z definicją funkcji f. Dalej to przygotowanie pod de l'Hospitala...

Arco: OK, teraz zaczynam to rozumieć. Mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego wyprowadzając funkcję za pomocą wzorów wychodzi coś innego?

Arco: Czyli obliczając pochodną w konkretnym punkcie, należy posłużyć się definicją? Wzory się nie przydadzą ?

Gray: A z jakiego wzoru chcesz to liczyć? Punkt x₀=0 jest wyjątkowy − tam następuje sklejenie − funkcja może nie być różniczkowalna.

Arco: Wielkie dzięki za pomoc. Czyli podsumowując, w przypadku takiego lub podobnego zadania posługuję się wprost wzorem definiującym pochodną (który w przypadku x0=0 nieco upraszcza się), liczę granicę prawo, lewostronną oraz f'(x0). Jeśli to wszystko jest równe to funkcja jest różniczkowalna?

Gray: Liczysz pochodne jednostronne z definicji − jeżeli są równe, to jest to pochodna f'(x₀); jeżeli są różne, pochodnej nie ma.

Arco: Miałbym jeszcze dwa nurtujące mnie pytania. Czy jeśli mam zbadać różniczkowalność danej funkcji f(x) w punkcie x0=0 i mam np. podaną funkcję e¹/x dla x różnego od 0 oraz 0 dla x=0, to czy jeśli granice funkcji f(x) przy x dążącym do 0− i 0+ wyjdą inne ( a w tym przypadku wyjdą), tym samym funkcja będzie nieciągła, to czy świadczy to o tym, że nie będzie też w danym punkcie różniczkowalna i jest koniec zadania?

Gray: Tak.