Analityczna :( Klaudia_i_Marta: Cześć, pomożecie z takim zadaniem? Dana jest prosta x=2y=1−z i punkt P (1,1,−2) 1. Oblicz odległość punktu od prostej (przez znalezienie punktu P'− rzutu, i obliczenie długości wektora PP') 2. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostą

Klaudia_i_Marta: Słuchajcie, nie wiecie może jak to zrobić?

Klaudia_i_Marta: prosimy, pomocy

Gray: Ad. 1. Można geometrycznie. Można i tak: prosta w postaci parametrycznej może wyglądać np. tak: x=2t y=t z=1−2t Odległość punktu P od jego rzutu na prostą jest najmniejsza, spośród wszystkich odległości punktów prostej od P. To znaczy, że rzut możemy wyznaczyć minimalizując tę odległość: (1−2t)²+(1−t)²+(−2−1+2t)²=9t²−18t+11=9(t−1)² +2 → ta funkcja osiąga najmniejszą wartość dla t=1, więc rzut punktu P na Twoją prostą to P'(2,1,−1). Przy okazji mamy odległość: dla t=1 powyższa funkcja przyjmuje wartość 2, więc odległość to √2. Ad. 2. Wy.

pigor: ..., np. tak : dany punkt P=(1,1,−2) nie leżący na tej prostej k danej równaniem :

	x−0		y−0		z−1
k: x= 2y= 1−z ⇒		=		=		= t ⇒
	1		12		−1

⇒ (x,y,z)= (t,¹₂t,1−t) − równanie parametryczne danej prostej, gdzie u=[1, ¹₂, −1]= ¹₂ [2,1,−2]=n − jej wektor kierunkowy, a zarazem normalny płaszczyzny π ⊥ k przez punkt P, czyli π: 2(x−1)+1(y−1)−2(z+2)=0 ⇔ 2x+y−2z−7=0 i (*) P'=(t,¹₂t,1−t)∊π ⇒ 2+¹₂t−2+2t−7=0 ⇔ 2,5t=7 ⇔ t=2,8, stąd i z (*) P'= (2.8, 1.4,−1.8) , więc 1) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (PP')²= 1,8²+0,4²+0,2²= 3,24+0,16+0,04= 3,44 ⇒ |PP'|= √3,44 , 2) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− u=[2,1,−2] i A=(0,0,1)∊k i P=(1,1,−2) ⇒ AP=[1,1,−3] ⇒ ⇒ u x AP= −i+4j+k= [−1,4,1]=m − wektor normalny szukanej płaszczyzny : −1(x−1)+4(y−1)+1(z+2)=0 ⇔ −x+4y+z−1=0 ⇔ x−4y−z+1=0. ...

pigor: ... o mocno różnią sie nasz rzuty ; cóż mój rzut P' niezbyt ciekawy, może ktoś poszuka co u mnie nie tak

Gray: Tam gdzie kolega pigor wylicza t=2,8 jest drobna usterka... "...⇒2t +0,5t −2 +2t −7 =0 ⇔ 4,5t = 9 ⇒ t=2 ⇒ P'(2,1,−1) "

pigor: ... , dzięki, kurde, nie wiem jak ja podstawiałem to t za x, przepraszam

Marta: Dziękuję bardzo, też mi wyszła teraz taka ta długość i zabieram się za drugą część Bez Was bym tego nie zrobiła

Marta: Rozumiem, że pozostało wykorzystać wektor PP' jako wektor prostopadły do płaszczyzny oraz punkt P' jako punkt do niej należący. W postaci kanonicznej wychodzi: (x−2)/1 = (y−1)/0 = (z+1)/1

Marta: czyli x+z−1=0