calka Pawel1992:

	dx
całka ∫
	(x2+1)3

Eve: t²=x²+1⇒x=√t²−1

	tdt
dx=
	x

potem przez części

Godzio:

	sint
x = tgt =
	cost

	1
dx =		dt
	cos2t

	cos2t
dodatkowo 1 =
	cos2t

	1		1
∫		*		dt =
	(sint/cos2t + cos2t/cos2t)3		cos2t

	1		1
= ∫		*		dt = ∫cos4tdt = (*)
	1   cos6t		cos2t

	1 + cos2x
cos2x =
	2

	1 + 2cos2x + cos22x		1 + cos4x   1 + 2cos2x +   2
cos4x =		=		=
	4		4

	2 + 4cos2x + 1 + cos4x		cos4x + 4cos2x + 3
=		=
	8		8

	cos4t + 4cos2t + 3		sin4t		sin2t		3
(*) = ∫		dt =		+		+		t + C
	8		32		4		8

Do pełni szczęścia chcielibyśmy wrócić z podstawieniem, a do tego trzeba wyliczyć sin4t i sin2t, liczmy zatem:

	sint
x =		⇒ sint = xcost oraz x = tgt ⇒ t = arctg(x)
	cost

	1
sin2t + cos2t = 1 ⇒x2cos2t + cos2t = 1⇒ cos2t(x2 + 1) = 1 ⇒ cos2t =
	x2 + 1

	1		x
cost =		oraz sint =
	√x2 + 1		√x2 + 1

sin4t = 2sin2tcos2t = 2sintcost * (cos²t − sin²t) =

	2x		1		1		x2
=		*		* (		−		) =
	√x2 + 1		√x2 + 1		x2 + 1		x2 + 1

	2x		1 − x2		2x − 2x3
=		*		=
	x2 + 1		x2 + 1		(x2 + 1)2

	2x
sin2t = 2sintcost =
	x2 + 1

Ostatecznie nasza całka jest równa:

2x − 2x3		x		3
	+		+		arctgx + C
32(x2 + 1)2		2(x2 + 1)		8

Pawel1992: Dziękuje bardzo, ale się Pan rozpisał. Wykorzystam dwie metody.

Godzio: