bazy kyrtap: Zbadać czy układy wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych Rⁿ. a) {(1,2,0),(−1,0,3),(0,−2,−3)}, R³

kyrtap: oprócz badania czy układ wektorów jest niezależny co jeszcze muszę zrobić?

Gray: Albo liczysz wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów (u Ciebie: det ≠ 0 ⇔ baza), albo badasz liniową niezależność − są lin. niezal. to są bazą, nie są to nie są.

Gray: W tym przypadku nic. W ogólnym przypadku dochodzi jeszcze generowanie przestrzeni.

kyrtap: o co chodzi w generowaniu przestrzeni?

kyrtap: bo to zadanie mam przed macierzami więc pytam

Gray: To skup się na liniowej zależności Generowanie: czy każdy element z R³ da się zapisać jako kombinacja liniowa tych wektorów? Jeżeli tak, to one generują całą przestrzeń. Jeżeli dodatkowo są liniowo niezależne (tzn. nie może ich być mniej), to są bazą tej przestrzeni. Np. wektory (1,0,0), (0,1,0) są liniowo niezależne, ale nie są bazą R³, bo nie generują R³ − nie uzyskasz z nich np. wektora (1,1,1).

kyrtap: ok skąd mam wiedzieć czy za pomocą kombinacji liniowej mogę uzyskać każdy element w przestrzeni?

kyrtap: bo rozumiem że ten układ wektorów nie jest liniowo nie zależny

kyrtap: to samo polecenie b) {(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)} ,R⁴ jak mógłbyś to omówić na tym przykładzie byłbym wdzięczny Gray

Gray: Przydatny jest taki fakt: każde n liniowo niezależnych wektorów przestrzeni n−wymiarowej jest jej bazą. Jeżeli wiesz, że wymiar R⁴ to cztery, wystarczy sprawdzić, czy wektory (1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1) są liniowo niezależne. Wyjdzie, że są. Gdybyś jednak chciał zobaczyć jak badać to, czy generują całą przestrzeń, można zrobić tak: weźmy dowolny wektor z R⁴: v=(x,y,z,w). Pytamy, czy on jest kombinacją liniową wektorów (1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1), tj. czy istnieją stałe a,b,c,d∊R, dla których a(1,0,0,0)+b(1,1,0,0)+c(1,1,1,0)+d(1,1,1,1)=(x,y,z,w). Mamy: Lewa = (a+b+c+d,b+c+d,c+d,d)=Prawej ⇔ a+b+c+d=x b+c+d=y c+d=z d=w Należy sprawdzić, czy ten układ ma rozwiązanie (a,b,c,d) dla dowolnych x,y,z,w. Ponieważ, rozwiązując go od końca, mamy d=w, c=z−w b=y−z a=x−y więc rozwiązanie istnieje. Wektory generują więc całą przestrzeń. Ponieważ są liniowo niezależne − są bazą R⁴.

kyrtap: bardzo dziękuje

kyrtap: jeżeli przy a b c d wychodziło by 0,0,0,0 to nie istnieje rozwiązanie tak ? lub by stały inne liczby?

kyrtap: ?

Gray: Nie rozumiem? a=b=c=d=0 oznacza, że prawa strona to (0,0,0,0). Współczynniki a,b,c,d muszą zależeć od wektora prawej strony. Nie ma takiej możliwości, aby dla różnych wektorów z R⁴ uzyskać jeden wspólny "zestaw" rozwiązań (a,b,c,d).

kyrtap: bo chciałem wiedzieć kiedy ten układ będzie sprzeczny z a,b,c,d i będzie można powiedzieć że układ wektorów nie jest bazą

kyrtap: ?

Gray: To sprawdź np. czy wektory (1,2,1), (2,−1,3), (−1,3,2) generują R³.