nierówność
john2: x2 + 1 − lnx > 0
Jak ładnie pokazać bez wykresu, że jest to spełnione dla wszystkich x ∊ (0,+∞)?
16 sty 23:11
PW: Dla x∊(0, 1] nie ma czego dowodzić, bo lnx ≤ 0.
Dla x > 1 rozłożyć lnx wedle wzoru Taylora (kilka początkowych wyrazów).
16 sty 23:36
john2: Dzięki.
16 sty 23:47
Godzio:
Albo poprzez pochodną, pokazać, że funkcja jest rosnąca, a jej minimum > 0
17 sty 00:26
john2: Godzio, dobrze zrozumiałem?
Wychodzi:
| | √2 | |
funkcja maleje w przedziale (0, |
| ), ale to jest ten przedział, gdzie, jak napisał |
| | 2 | |
PW, lnx ≤ 0
| | √2 | |
funkcja rośnie w ( |
| , +∞), czyli ten interesujący nas przedział |
| | 2 | |
Minimum:
| | √2 | | 1 | | √2 | |
f( |
| ) = |
| + 1 − ln |
| > 0 |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
17 sty 00:52
Godzio:
Właśnie tak.
17 sty 00:54
john2: Dzięki również.
17 sty 00:55