Zbadaj przebieg zmienności john2: Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x) = x² − 4|x| + 3 Proszę o sprawdzenie. Być może da się szybciej, odbijając wykres względem osi OY, ale zależy mi na tym, żeby mi ktoś powiedział, czy robię to poprawnie w ten sposób.

	⎧	x2 − 4x + 3 dla x ≥ 0
f(x) =	⎩	x2 + 4x + 3 dla x < 0

1) Dziedzina. x (−∞,∞) 2) Miejsca zerowe. x² − 4x + 3 = 0 lub x² + 4x + 3 = 0 (x − 3)(x − 1) = 0 lub (x + 3)(x + 1) = 0 x₁ = −3 x₂ = −1 x₃ = 1 x₄ = 3 3) Asymptoty. Pionowych brak. Poziome:

	x2 − 4x + 3		3
limx−>+∞		= limx−>+∞ (x − 4 +		) = +∞
	x		x

	x2 + 4x + 3		3
limx−>−∞		= limx−>−∞ (x + 4 +		) = −∞
	x		x

Brak ukośnych. 4) Monotoniczność i ekstrema. 1. dla x > 0 (nie wiem, czy mogę napisać x ≥ 0, jeśli nie badałem pochodnej w zerze) f(x) = x² − 4x + 3 f'(x) = 2x − 4 Sprawdzam, kiedy f'(x) = 0 2x − 4 = 0 x = 2 kandydat na ekstremum Sprawdzam, kiedy f'(x) > 0 x > 2 Sprawdzam, kiedy f'(x) < 0 x < 2 Funkcja maleje w przedziale x ∊(0,2) Funkcja rośnie w przedziale x∊(2,+∞) Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (2, −1) 2. x < 0 f(x) = x² + 4x + 3 f'(x) = 2x + 4 Sprawdzam, kiedy f'(x) = 0 2x + 4 = 0 x = −2 kandydat na ekstremum Sprawdzam, kiedy f'(x) > 0 x > −2 Sprawdzam, kiedy f'(x) < 0 x < −2 Funkcja maleje w przedziale x ∊(−∞,−2) Funkcja rośnie w przedziale x∊(−2,0) Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (−2, −1) 3. Badam istnienie ekstremum w punkcie x = 0 Jak stwierdziłem wyżej: Funkcja rośnie w przedziale x∊(−2,0) Funkcja maleje w przedziale x ∊(0,2) Sprawdzam ciągłość w punkcie x = 0 lim_{x −> 0} x² − 4|x| + 3 = 3 f(0) = 3 Funkcja ma maksimum lokalne w punkcie (0,3) 5) Wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia. 1. x > 0 f''(x) = 2 Funkcja jest ∪ dla x > 0 2. x < 0 f''(x) = 2 Funkcja jest ∪ dla x < 0 Brak punktów przegięcia 6) Tabela. x | (−∞, −2) | −2 | (−2, 0) | 0 | (0, 2) | 2 | (2, +∞) y''| + | + | + | | + | + | + y'| − | 0 | + | | − | 0 | + y| ∪ ↘ | MIN | ∪ ↗ | MAX | ∪ ↘ | MIN | ∪ ↗ − 1 3 −1 Nie wiem, co zamiast tych pytajników napisać.

Gray: Nic niepokojącego nie widzę (asymptoty wyznaczałaś ukośne, a nie poziome) . Zamiast pytajników daj "−−", co oznacza, że nie ma wartości − pochodna w zerze nie istnieje.

john2: Tak, miałem napisać "ukośne" zamiast "poziome". Dziękuję Ci.