Liczby zespolone majkel: Sprawdź, czy liczba z=(3−i)/(1−√3)⁵ należy do zbioru |2+i−z|>=|z−1| Odpowiedź uzasadnij. Proszę o pomoc, brakuje mi pomysłów

Draghan: A jak podstawisz z do nierówności...?

majkel: Tzn.? Ten pierwiastek 5 stopnia mnie trochę demotywuje. Ciężko idą mi te zespolone, oj ciężko...

Draghan: Hmm... Ja bym się tam nie przejmował tym ułamkiem. Rozszerzyłbym wszystkie liczby z nierówności do ułamka o mianowniku (1−√3)⁵. Chyba że tak nie można. Ale przynajmniej spróbuj. Zespolone nie są trudne. Najwięcej problemów z wyznaczaniem kąta, na resztę są wzory.

majkel: no własnie przeszkadza mi ten pierwiastek przy liczeniu modułu

Draghan: To rozpisz z dwumianu Newtona.

	n k
(x + y)n = ∑nk=0		xn−kyk

Draghan: Ale jak patrzę na polecenie, to wydaje mi się, że można jakoś prościej... Tylko trzeba na to wpaść. Ktoś inny ma jakiś pomysł?

majkel: o matko, z dwumianem to chyba jeszcze większa komplikacja... kurcze, głupi jestem, naprawdę

Draghan: Komplikacja, komplikacją − ale rozwiązanie będziesz miał. A może wystarczy oszacować?

majkel: Hmmm z szacowaniem raczej ciężko. Po prostu jest coś, czego nie potrafię dostrzec

Draghan: Poczekaj, może nie trzeba liczyć tego pierwiastka. Daj mi chwilę, rozpiszę sobie tę nierówność.

majkel: OK, rano spojrzę jaki efekt. Dziękuje bardzo

Draghan:

	3−i		3		−1
z =		= a + bi, gdzie a =		, b =
	(1−√3)5		(1−√3)5		(1−√3)5

Może dla ułatwienia, oznaczmy (1−√3)⁵ jako stałą x (x < 0). Teraz rozpiszę dwa moduły z nierówności, a wnioski spróbuj wyciągnąć samodzielnie. |2 + i − z| = |2 + i − (a + bi)| = |2 − a + i − bi| = √ (2 − a)² + (1 − b)² = (...)

	10		10
(...) = (5 −		+		)12 //zmieniłem pierwiastek na potęgę, bo w zapisie
	x		x2

na stronce coś nie działało...

	7		9
|z − 1| = |a − 1 + bi| = (...) = (1 −		+		)12
	x		x2

Teraz można jako−tako oszacować, pamiętając że x < 0 (ważne przy x² ).

Gray:

	3−i
Na 99,(9)% w mianowniku kolego zapomniał i, tzn. powinno być		, lub coś
	(1−i√3)5

podobnego (może (i−√3)⁵). Wtedy do prawej strony należałoby wypalić z armaty de Moivre'a. Zadanie w takiej postaci jak jest (tj. bez i) nie ma "tego czegoś", co powinno być w każdym szanującym się zadaniu.

majkel: Nie ma i w mianowniku.

majkel: Na pewno nie popełniłem tutaj błędu, przepisałem przykład dobrze.

MQ: Nierówność |2+i−z|>=|z−1| oznacza półpłaszczyznę rozdzieloną symetralną odcinka między punktami z₁=2+i oraz z₂=1, w której leży punkt z₂. Trzeba tylko sprawdzić,czy w tej półpłaszczyźnie leży rzeczona liczba. 3−i, jak widać (czerwony punkt), leży na tej symetralnej, ale mamy jeszcze dzielenie przez (1−√3)⁵.

	1
Ponieważ 1−√3<1, więc (1−√3)5<1, czyli		>1, a zatem odległość badanej
	(1−√3)5

liczby od środka płaszczyzny zespolonej (p. 0) jest większa niż liczby 3−i. Stąd wniosek (patrząc na rysunek i niebieską linię), że badana liczba leży poza obszarem czerwonym, więc nie spełnia nierówności.