całki niewymierne Saris:

	dx
∫
	x2(x+√1+x2)

	√1+x2
∫
	2+x2

Podstawienie Eulera (a>0), przekształcenie w całkę wymierną, rozkład na ułamki proste (w razie gdy stopień licznika=mianownika podzielenie pisemne i rozkład R(x)/M(x) [M−mianownik, R−reszta]). Czy to jest dobry sposób? Jeśli tak, bardzo złożony i długi, istnieje szybsza metoda w tego typu przypadkach? Przykłady te mają rozkładalne mianowniki oczywiście. Dla przykładu 1 całka: Podstawienia: √1+x²=t−x 1+x²=t²−2tx+x² 2tx=t²−1

	t2−1
x=
	2t

	t2+1
dx=		dt
	2t2

__________________ Podstawiamy:

	t2+1		4t2		2t2+2
∫		*		dt = ∫		= (*)
	2t2		(t2−1)2*t		(t−1)2(t+1)2*t

Rozkład na ułamki proste:

t2+1		A		B		C		D		E
	=		+		+		+		+		/
(t−1)2(t+1)2*t		t		t−1		(t−1)2		t+1		(t+1)2

* mianownik lewej strony 2t²+2=A*(t−1)²(t+1)²+B*t(t−1)(t+1)²+C*(t+1)²*t+D*(t−1)²(t+1)t+E(t−1)²t To wyliczamy i tworzymy układ równań: 0=A+B+D 0=B+C−D+e 2=−2A−B+2C−D−2E 0=−B+C+D+E 2=A A=2, B=−1, D=−1, C=1, E=−1 całkujemy takie równanie i otrzymujemy z prawej strony:

	dt		dt		dt		dt		dt
(*) = 2∫		− ∫		+ ∫		− ∫				− ∫
	t		t−1		t−1		(t−1)2		t+1

	dt
		= 2ln|t|−ln|t−1|−(t−1)−1−ln|t+1|+(t+1)−1+C
	(t+1)2

za t podstawiamy √1+x²}+x Czy to jest poprawnie rozwiązany przykład?

Saris: bump

Saris: halo halo

Saris: bump

Godzio: Pomnóż licznik i mianownik przez x − √1 + x², w mianowniku wyjdzie minus, którego włączę do licznika:

√1 + x2 − x		√1 + x2		1
	=		−
x2		x2		x

I teraz pozostaje Ci policzenie pierwszej całki, małe przekształcenia pozwalają czasem uprościć późniejsze działania, podejrzewam, że w tym przypadku tak będzie, Twój sposób jak najbardziej dobry. Zaproponuję niestandardową metodę do policzenia tego pierwszego x = sht ⇒ t = arcsh(x) dx = chtdt wówczas √1 + x² = √1 + sh²t = √ch²t = cht i mamy całkę

	ch2tdt		1 + sh2t		1
∫		= ∫		dt = ∫(		+ 1)dt = −ctgh(t) + t + C =
	sh2tdt		sh2t		sh2t

	cht		√1 + x2
= −		+ t + C = −		+ arcsh(x)
	sht		x

Saris: Takie odpowiedzi widziałem na symbolabie i wolframie ale za Chiny nie umialem sprawdzic czy to jest rownowazne, a tych funkcji hiperbolicznych nie używałem wcześniej. ale dzięki. przynajmniej wiem ze dobrze robie, chociaz dluzszym sposobem.