aa Hugo: Hugo z Przebiegiem: Legenda Prawdziwa. Dokonaj przebiegu funkcji dla: 1. y= x −ln(x+1)

	lnx
2. y= x +
	x

	x2
y =
	4−x2

	x
4. y=		//potęga ex
	ex

5. y = e^1/x − x 6. y = x² −4|x|+3

	(x−1)2
7. y =
	(x+1)2

8. y = x−2arctgx 9. y=ln(sinx) // zakladam ze tu jest () a nie modulo : > bo mam troszcze nieczytelnie 10. y=x² * e ^−x^^ ² /e do potęgi −x² 1 Dziedzinę. 2 Miejsca zerowe. 3 Punkt przecięcia z osią Oy. 4 Granice na krańcach dziedziny. //** to tez? w etrapezie takiego czegos nie ma 5 Asymptoty. 6 Przedziały monotoniczności. 7 Ekstrema. 8 Przedziały wklęsłości i wypukłości. 9 Punkty przegięcia. tabelka

Hugo: http://scr.hu/2pdc/2ws0u będę sę wzorować na tym i tam mam rozwiązanie do jednego

Hugo: zatem 1. Dziedzina 2. Asymptoty 3. Ekstrema 4. Wklęsłość 5. Tabelka

5-latek: Ale Hugo to raczej tak:Zbadaj przebieg zmiennosci funkcji a nie dokonaj .......

5-latek: Jeszcze parzystosc i nieparzystosc funkcji

Hugo: y = y= x −ln(x+1) D: x> −1 lim x−> −1⁺ x −ln(x+1) = oo [−1 − log(−oo) = oo ] zatem istnieje asymptota pionowa prawostronna dla x = −1

	−ln(x+1)
a = lim x−>+− oo f(x) /x = lim x−>+−oo 1 −
	x

	oo
[		] z Hospitala
	oo

= lim... 0 + 1 = 1 = a b = limx−>+−oo f(x) − ax =lim... −ln(x+1) = −oo I co teraz ? b jest nie określone Dziedzina nam wyklucza −oo [−(ln(oo) ) = − oo]

Hugo: 5−latek : U nas nie wymaga, wiem ze tak jest ale nie wymaga

john2: Ja robię schematem "e−trapezowym" http://www.etrapez.pl/filmy/kp/schemat.pdf Granice na krańcach dziedziny są częścią badania asymptot.

Hugo: ekstrema:

	1
y' = (x −ln(x+1) ) ' = 1 −		* 1
	x+1

Df' : x=/= −1 //wiec dalej tak samo y' = 0

	1
1 −		= 0
	x+1

	1
1 =
	x+1

x+1 = 1 x = 0 f(x) rosnąca dla x e (−1 ; 0) f(x) malejąca dla x e ( 0 ; oo) ekstrema osiąga maximum w pkt ( 0, 0 ) f(0) = 0

Hugo: profesor mi daje fory nie wiem cieszmy sie Prosze mnie sprawdzać ! z asymptotą ukośną mi tam coś 'b' nie wychodzi ktos moze?

john2: Jeśli chodzi o ukośne, nie ma sensu chyba liczyć przy x −> − ∞, bo nie ma ln(−∞) b wychodzi ∞ więc nie ma ukośnych

john2: tzn b wychodzi −∞

john2: Na odwrót monotoniczność, minimum w 0

Hugo: źle policzylem john2 'a' źle mam chyba

	ln(x+1)
lim x−> +−oo x/x −
	x

	ln(x+1)
lim .. 1 −		[oo/oo]
	x

zatem jedynka znika czy jak?

Hugo: co na odwrot?!

john2:

	x − ln(x+1)
limx−>PLUS∞		=
	x

	ln(x+1)
= limx−>PLUS∞ [ 1 −		] = ...
	x

	ln(x+1)
limx−>PLUS∞		=H
	x

	1
limx−>PLUS∞		= 0
	x+1

	ln(x+1)
... = limx−>PLUS∞ [ 1 −		] = [1−0]
	x

Hugo: jedynka znika i a = 0 ? : >

Hugo: czyli dobrze mowilem a = 1 czyli nie istnieje asymptota ukośna

john2: pierwsza pochodna

	1		x+1		1		x
y = 1 −		=		−		=
	x+1		x+1		x+1		x+1

Badam znak pochodnej

x
	> 0
x+1

x(x+1) > 0 x ∊ (−∞, −1)∪(0,+∞) uwzględniając dziedzinę x ∊(0,+∞) tam funkcja rośnie

x
	< 0
x+1

x(x+1) < 0 x∊(−1,0) tam maleje

john2: Asymptota ukośne wyjdzie jeśli a i b są liczbami (jednocześnie), b nie jest liczbą

Hugo:

	1		1
pochodna z		= −
	x		x2

	1
y''=
	(x+1)2

1
	= 0
(x+1)2

1 = 0 brak rozwiązań

john2: tak

Hugo: Cos sie znowu dowiedzialem : )) a to kolejne :c? tak dziwnie ze same sprzecznosci

Hugo: ok

Hugo: co do tabelki to prosze o pomoc

john2: ja je robię tak http://www.akademia.etrapez.pl/wp-content/uploads/domowe/kp/odp9.pdf x | −1 | (−1,0) | 0 | (0,+∞) | +∞ y''| | + | + | + | + y'| | − | 0 | + | + y| | ↘ i ∪ | min| ↗ i ∪ | (0,0)

john2: w ostatnim wierszu sobie rysuj te strzałki tak, jak w tym pdfie

Hugo: Dziedzina to x e (−1 ; oo) zatem −1 0 (z liczenia asymptot jako rozwiaanie) oo ?

Hugo: skoro w y'' wyszla nam sprzecznosc to czemu wszędzie dodattnie

john2: y'' ma znak dodatni, bo

1
	jest zawsze dodatnie
(x+1)2

Hugo: 2. czemu masz na odwrót strzałki? funkcja y' przy iksie ma znak minus zatem rysujemy od dolu zatem musi byc po mojemu?

Hugo: ok zaskoczyles mnie znowu # y'' ale ta pochodnna y'? y= x −ln(x+1)

	1
y' = 1 −		* 1
	x+1

znak jest minus przez iksem a narysowales jak by byl dodatni

john2: zobacz post z 15:54 jeszcze raz

Hugo: Wybacz nie zauważyłem twojego posta − racja wgl przecież nie można przemnażać przez 'x' , nalezy wspólny ułamek

Hugo: czyli tam bedzie ekstrema minimum w pkt (0,0)

john2: tak

Hugo: 2)

	lnx
y = x +
	x

D xe (0; oo) asymptoty

	ln0
lim x−>0− I TU DZIWNE wychodzi		... czyli −oo/0− czyli oo?
	0−

Hugo: i to samo dla 0⁺ ... −oo

john2: x−>0⁻ nie ma sensu x−>0⁺ więc −∞/0⁺ = −∞

Hugo: as ukośna lim x−> +− oo lnx/x / x [−oo/oo] Hospital w zasadzie ino +oo bo dziedzina

	1
= lim...		= 0 = a
	2x

[1/oo] = 0 b = limx−>oo f(x) − ax = lim... lnx/x [−oo/oo] Hospital

	1
= lim...		= 0
	x

rownanie y = 0x + 0 jest asymptotą ukośną równania (poziomą)

Hugo: Dlaczego nie ma sensu

−oo
	= oo
0−

czyli to mam napisac? że tylko prawostronnie domknięta?

john2: b = ∞

john2: Badamy granice na krańcach dziedziny. Dziedzin to (0, ∞). Krańcem dziedziny jest zero tylko od prawej strony.

Hugo: racja dziedzina ...

Hugo: teraz pochodne,,, ekstremy

Hugo:

	lnx
y' =
	x

lnx
	= 0 / * x2
x

xlnx = 0

Hugo: x = 0 v lnx = 0 x = 0 v x = e f(x) maleje xe (0; e) f(x) rośnie xe( e; oo) extremum minimalne dla x = e w punktcie (e, e⁻ )

	lne		1
f(e) =		=
	e		e

john2: źle pochodna

Hugo: racja

	lnx
pochodna z		+ x
	x

	1
y' =		* x − lnx
	x

y' = 1 − lnx

john2:

	lnx		1   * x − lnx * 1 x		1 − lnx
(x +		)' = 1 −		= 1 −
	x		x2		x2

Hugo: lnx = 1 x = e przed przekształceniem mamy znak minus przed lnx wiec:

john2: zamiast − jest + po jedynce

Hugo: −,− racja czemu ja nie myśle

	1−ln
1 −		= 0
	x2

x² = 1 − lnx ale co teraz?

john2:

	1 − lnx		x2 + 1 − lnx
y' = 1 +		=
	x2		x2

Hugo: jezeli zmiana znaków o ile dobrze rozumiem to −x² = 1 −lnx

Hugo: ach : ) to od nowa ! przyrównujemy do zera

john2: pochodna chyba jest zawsze dodatnia

Hugo: wymnażamy przez x² i zostaje nam x² +1 − lnx = 0 ale co teraz mamy loga

Hugo: czyli to tak zostawiamy?

john2: funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, brak ekstremów

Hugo:

	lnx
y'' = x +		) ''
	x

	1   * x − lnx * 1 x		1−lnx
y' = 1 +		= 1 +
	x2		x2

	−x + 2xlnx
y'' =
	x4

Hugo: ok rosnąca co do y'' mam nadzieje ze dobrze policzylem 0 = −x + 2x * lnx

Hugo: spekulowałbym że 0 = x( −1 + 2lnx) x = 0 v 2lnx = 1 x= 0 v lnx = 1/2 x = 0 v x = √e

Hugo:

john2:

	−3x +2xlnx
y'' =
	x4

john2: sprawdzaj sobie na wolframie wyniki, zanim robisz dalsze obliczenia http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x+%2B+%28lnx%29%2Fx%29%27%27 wolfram podaje postać po skróceniu, Ty nie skracaj. mianownik chcemy w parzystej potędze

Hugo: f(x) u xe (√e ; oo) f(x) n xe (0; √e) pkt przegięcia ( √e ,

	ln √e
f( √e) = √e +
	√e

john2:

−3x + 2xlnx
	= 0
x4

−3x + 2xlnx = 0 −x( 3 − 2lnx )= 0 x = 0 lub 3 − 2lnx = 0 −2lnx = − 3

	3
lnx =
	2

lnx = lne^3/2 x = e^3/2

john2: i badaj znak wyrażenia −3x + 2xlnx od niego zależy znak drugiej pochodnej

Hugo: jeszcze raz od nowa starannie

	lnx
y =		+ x
	x

	1   * x − lnx * 1 x		1 − lnx
y' = 1 +		= 1 +
	x2		x2

	(1 − lnx)' * x2 − 2x* (1 − lnx)
y'' = 0 +
	x4

	−x −2x + 2xlnx
y'' =
	x4

Hugo: tzn jak badać?

Hugo: jak dla mnie 2xlog bedzie większy od −3x przez co znak przy jest wazny

Hugo: dobrze?

john2: dla jakich x −3x + 2xlnx > 0 i dla jakich x −3x + 2xlnx < 0

Hugo: a mozna rozwiązywac to graficznie? wole takie ;x

Hugo: tez masz fajne nie trzeba na znak patrzec

john2: −3x + 2xlnx > 0 −x(3 − 2lnx) > 0 / : x, x > 0 znamy znak x −(3 − 2lnx) > 0 /: (−1) 3 − 2lnx < 0 etc

Hugo: podtrzymuje moje: f(x) u dla x e (e^3/2 ; oo) f(x) n dla x e ( 0; e^3/2) pkt przegięcia dla x = e^3/2

	lne3/2
f(e3/2) = ee3/2 +
	e3/2

Hugo: czyli mam dobrze?

Hugo:

	1,5
e3/2 +		tak mozna zostawić? //pkt przegięcia
	e3/2

john2: ok

	3   2
f(e3/2) = e3/2 +
	e3/2

przybliżenie kalkulatorem

Hugo: mozna przyblizac? na studiach za to karali

john2: gdzieś na brudno tylko, żebyś mógł ten punkt zaznaczyć na wykresie

Hugo: tabelka: x // 0 // // e^3/2 // // oo y'' // x // − // + // + // + y' // x // + // + // + // + //zawsze dodatnia ! y // −oo // ↗n // p.przeg(...) // ↗ u // 0

Hugo: dobrze 2/10 zadan

john2: y'' ma wartość zero dla e^3/2

john2: i nie wiem co to za 0 na samym koncu tabeli

Hugo: emmm no wiem a co bys tam dal :x? w sumie zasugerowalem sie asymptotą

Hugo: dla lim x−> oo ... tam bylo zero

john2: nic nie pisz tam w wierszu y, jesli nie mamy asymptot poziomych

john2: ale b wyszło nieskończoność, więc odpada

john2: będę za godzinę, rób następne, sprawdzę

Hugo: WIELKIE DZIĘKI TB ! ! !

Hugo: /////////////////////////////////////////////////////// trzecie

	x2
y =
	4 −x2

Df: xe R/{−2, 2} lim x−> −2⁻ = −oo lim x−> −2⁺ = oo lim x−> 2⁻ = oo lim x−> 2⁺ = −oo mamy as pionowe

Hugo:

	x2
lim x−> +−oo f(x) / x = lim...		= [0/oo] = 0
	4x−x3

lim x−> +−oo f(x) − ax = −1 y = −1 as pozioma

Hugo:

	8x
y'=
	(4−x2)2

0 = 8x x = 0 ! f(x) rosnie xe (0;2 ) U (2; oo) f(x) maleje xe (−oo; −2) U (−2o) ekstrema minimalna w pkt (0,0)

	0
f(0) =		= 0
	4

john2: wygląda ok

john2: Napisz, jak dokładnie wygląda wzór funkcji numer 4

Hugo: ale jeszcze 3: druga pochodna jest kopnięta

john2: napisz mi 4, bo chcę już je zacząć robić

Hugo: : )))

Hugo:

	8x
y' =
	(4−x2)2

	8(4−x2)2 −8x*2(4−x2) * (−2x)
y'' =
	(4−x2)2

	8(4−x2)[ 4−x2 −(2(−2x)]
y'' =
	(4−x2)2

	8(−x2 + 4x + 4)(4−x2)
y'' =
	(4−x2)2

Hugo:

	8x
y' =
	(4−x2)2

	8(4−x2)2 −8x*2(4−x2) * (−2x)
y'' =
	(4−x2)2

	8(4−x2)[ 4−x2 −(2x(−2x)]
y'' =		// iksa zjaslem
	(4−x2)2

	8(−x2 + 4 + 4x2)(4−x2)
y'' =
	(4−x2)2

	8( + 4 + 3x2)(4−x2)
y'' =
	(4−x2)2

Hugo: 3x² = −4 SPRZECZNOŚĆ

john2: ok

Hugo: x przy najwyższej ujemny

Hugo: brak wklęsłości/wypuklości bo dziedzina

Hugo: tabelka !

Hugo: nie wiem co dac dla y mam wrazene ze tam źle

john2: chyba ok, w wierszu y pod −∞ i ∞ piszesz rownanie asymptoty ukosnej napisz tam jeszcze MIN, gdzie f osiaga minimum

Hugo: aaa

Hugo: w pkt zero ma minimum prawda?

Hugo: Mogę spytac jak zadanie 4? : )

john2: tak

Hugo: 5 zadanie mam rozpisane , kyrt... mówił ze by na 6 zobaczył, a końcówkę może coś wyrzebram od znajomych z klasy teraz 4 ! oczywiście ślepe przepisywanie jest daremne jutro mam kolokwium, jednak jak by siedziec do 3 w nocy czy jakoś tak to hmm . 4 zad

	x
y =
	ex

Hugo: Df: e^x =/= 0 x e R

Hugo: brak asymptot pionowych ! as ukośne

	1
lim x−> +−oo f(x)/x = lim...
	ex

dwa przypadki dla

	1
lim x−> oo		= 0
	ex

	1
lim x−> −oo		= [eoo ] = oo
	ex

john2: tak

john2: jak coś to ja mogę robić wszystkie ( o ile będę umiał ), bo też chcę poćwiczyć to

Hugo:

	x
dla b = lim x−> + oo f(x) − ax =		= [oo/oo] = H =
	ex

	ex −xex		1−x
lim x−> + oo		= lim x−> + oo		= −oo
	e2x		e2

Hugo: to prosze jak masz ino ochotę to rób u siebie i mnie kontroluj : )) ale powiedz mi dla asymptot pionowych wyszlo nam dwa: oo oraz 0 zatem tą nieskończoność odrzucamy nie wiem co z nią zrobić

john2:

	1
po regule masz po prostu
	ex

john2: a = 0, b = 0 równanie asymptoty poziom y = 0 przy x − > + ∞

Hugo:

	x
b = lim x−> −oo		=[ −oo * eoo = −oo]
	ex

zatem nie istnieje ani pionowa ani ukośna asymptota

john2: nie musisz liczyc b przy − nieskonczonosci, jak nie wyszlo a

Hugo: ale jak ;−; okej dla a jedno wyszlo zero ale drugie dla b?

	x
y =
	ex

dla nieskończoności to [oo/oo] symbol nie oznaczoności jak zrobilem HOSPITALEM to wyszlo −oo //20:47 mozesz mi to wyjasnic? ;c

Hugo: mógłbyś rozpisać b?

	x
lim x−> +oo
	ex

john2: chwila zw

Hugo: ja prld Hospitalem zrobilem calosc a nie osobno licznik i mianownik

Hugo:

x		1
	=		= 0 masz racje
ex		ex

dla cb

Hugo: pochodna

	ex−xex
y' =
	e2x

0 = e^x(1−x) e^x = 0 v x = 1 sprzecznosc prawda e^x =/= 0 wiec tylko x = 1

john2: zwroc uwage, za pomijalismy punkty przeciecia z osiami to tez wypada robic (o ile sie da)

john2: tak

Hugo: x = 1 a nie 0 −,−

Hugo: wiem wiem na etrapezie TEZ SIE Z NIEgo uCZE tam sie to robi ale u mnie nie każe

Hugo: f(x) ros .. f(x) mal ...

	1
ekstremum minimalne w pkt (1,		)
	e

i teraz y''=...

Hugo:

	[ex −(ex+xex)]e2x − (ex−xex) *2ex*ex
y'' =
	e4e

powiedz ze dobrze

john2: niepotrzebnie tyle komplikacji

	1 − x
y' =
	ex

skróciłem z e^x, mianownik i tak jest dodatni

	−ex − (1−x)ex
y''=		= teraz zaś skróć
	e2x

Hugo: tam sie dosc fajnie łączy licznik

−3e2x(ex+xex) + e3x		e2x(−2ex−3xex)
	=		=
e4x		e4x

−2ex−3xex		−ex(2+3x)
	=
e2		e2

Hugo: kurde troche inne mamy

john2:

	−1 − (1 −x)		−1 − 1 + x		x − 2
... =		=		=		=
	ex		ex		ex

Hugo: czemu masz dalej w liczniku e^x skoro skróciłeś

ex		1
	=		czyż nie?
e2x		e2

Hugo: masz racje...

Hugo: przepisze sb połowe mojego i reszte twojego za pozwoleniem ;x

Hugo: w kontekście twojego:

x−2
	= 0
ex

e^x jest dodatnie więc x−2 = 0 x=2

john2: ok

Hugo: xddd widze ze oboje wymiękamy ?

john2: nie, ja ciągle czekam

john2: trochę się męczę z 6) ale raczej się uda

Hugo: w8

Hugo: kyrtap mi zrobil 6 ! 5 tez mam

Hugo: Tam ci chyba gdzies pisalem a jak nie to przepraszam siadam do 7 : ) jak bede juz lulać to przepisze tamte

john2: pisałeś, ale i tak chcę zrobić

Hugo:

	(x−1)2
y =
	(x+1)2

Df: (x+1)² =/= 0 x e R

john2: x ≠ −1

john2: wskazówka do pochodnej, jak najszybciej wyciągnij przed nawias wyrażenie (x−1)(x+1)

Hugo: ok brak pionowych as. ukośne: lim x−>+−oo f(x)/x

	(x−1)2		1
lim x−>+−oo		= (wyciągnięcie x2 przed nawias w pamięci) = [		] = 0
	x(x+1)2		oo

	(x−1)2		2x−2
b = lim x−> +−		= H = lim x−>+−oo		= 1
	(x+1)2		2x+2

y = 1

Hugo: racja −______− przeciez by sie z zerowalo wiec xe R/{−1}

Hugo: ale jak w pochodnych xd wyciągnąć? stałe sie wyciąga

john2: ok, ale nie trzeba regułą b

(x−1)2		1   ( x(1− ) )2   x
	=		=
(x+1)2		1   ( x(1+ ) )2   x

	1   x2(1− )2   x
=		= ...
	1   x2(1+ )2   x

Hugo: skoro x =/= −1 to liczymy pionowe

john2:

	2(x−1)(x+1)2 −(x−1)2*2(x+1)
y' =		=
	(x+1)4

	(x−1)(x+1) [2(x+1) −(x−1)*2]
=		=
	(x+1)4

Hugo: tak spekulowałem ze da sie wyciągnąć przed nawias

john2: przed liczeniem y'' skróć z mianownikiem (x+1)

Hugo:

	(x−1)2
lim x−>−1−		= +oo
	(x+1)2

	(x−1)2
lim x−>−1+		= +oo
	x+1)2

dobrze mysle? obydwie +oo

Hugo: straszysz

john2: ok

Hugo:

	(x−1)2]' * (x+1)2 − (x−1)2* (x+1)2]'
y' =
	(x+1)4

(2x−2)(x+1)2 −(x−1)2 * (2x+2)
(x+1)4

masz jakis pomysl to to wymnazac

john2: patrz na post z 22:26

Hugo: <333333333333333 x2

Hugo: za fajnie wychodzi?

2(x+1) [ (x−1)(x+1) − (x+1)(x−1)]
(x+1)4

Hugo:

2(x+1) [ (x−1)(x+1) − (x−1)(x−1)]
	*** tamto źle
(x+1)4

john2: jeszcze (x−1) wyciągnij

Hugo:

4(x−1)
	cos da sie jeszcze z tym?
(x+1)3

john2: Nie skracaj tego (x+1) dopóki nie zbadasz znaku pochodnej, dopiero jak zaczniejsz liczyć drugą to skróć

Hugo: w sumie bz sensu skracac (x+1) bo potem przy przyrównywaniu..... 4(x−1)(x+1) = 0 x = 1 v x = −1

Hugo: bez skracania liczyc drugą? bedzie wiecej roboty ;x ale ok

Hugo: extremum dla x = 1 bo to drugie do dziedziny nie łapie ekstrema minimalna w pkt (1,0) f(1) = 0

john2: Jeszcze raz: Do zbadania pierwszej pochodnej przyda nam się licznik o parzystym stopniu, bo jest zawsze dodatni. Wtedy badamy znak tylko licznika. Potem przed zabraniem się do liczenia drugiej pochodnej, skróć to.

john2: dobrze

john2: POPRAWIAM : przyda nam się mianownik o parzystym stopniu

Hugo:

	4(x−1)(x+1)
zatem II pochodna z y' =
	(x+1)4

	4(x+1)3(x+1)2
= bez skracania = y'' =		= 4(x+1)
	(x+1)4

x+1 = 0 x= −1 XDDDD tyle liczenia by to nie moglo nalezec do dziedziny

Hugo: no tak bo jak jest mianownik i sie go pozbyt to przez ujemną nie pomnożymy

	x+3
0 =		/ * x NIE WOLNO
	x

	x+3
0 =		/ * x2 WOLNO
	x2

Hugo: powiedz mi czy dobrze y'' bo bym wklepal na kartke zrobil tabelke, przepisal 5) i 6) i lulu :((

john2:

	x−1
y'' = ( 4 *		)' =
	(x+1)3

	(x+1)3 − (x−1) * 3(x+1)2
= 4 *		=
	(x+1)6

	(x+1)2 [(x+1) − (x−1) * 3]
= 4 *		=
	(x+1)6

	(x+1) − (x−1) * 3
= 4 *		= tutaj skróciłem, bo i tak mam parzysty stopień na dole
	(x+1)4

Hugo: zaufam twoim obliczeniom

Hugo: przepisywanie poczeka; tabelka

Hugo: dobrze?

john2: zapomniałeś jeszcze o dwójce y'' nie ma wartości 0 dla x = 1 dopisz MIN tam gdzie jest wartość minimum lokalnego przy okazji, jeśli chodzi o f(x) = x − 2arctgx to to pan z e−trapezu robił, jeśli masz dostęp do kursu

Hugo: ale te argumenty sie podstawialo do głównej funkcji a nie do y'' ;−;?!

	(1+x)2
f(1) =		licznik sie zeruje
	(x−1)2

minimum lokalne czyli dla zera O mam dostęp

Hugo: a skąd dwojka ;−;

john2: tak chodzi o to, że w pierwszym wierszu napisałeś, że w x = 1 y'' wynosi 0 to nie jest prawdą y'' jest tam +

john2: 2 to rozwiązanie drugiej pochodnej

	−8(x−2)
y'' =
	(x+1)4

Hugo: dzieki wielkie jesteś świetnym nauczycielem przepisalem 5, teraz bede 6 a potem lookne do etrapeza zycze milej nocki

john2: ok, nie ma za co, zaraz jeszcze rozpiszę Ci 9, bo już zacząłem

john2: y = ln(sinx), ale nie jestem tego pewien, zwłaszcza tych granic dziedzina: x∊(2kπ,π + 2kπ) granice na krańcach lim_{x−>(2kπ)⁺} ln(sinx) = [ ln(sin(2kπ)) = ln(0)] = − ∞ lim_{x−>(π + 2kπ)⁻} ln(sinx) = [ ln(sin(π + 2kπ)) = ln(0)] = − ∞ Nie umiem obliczyć tych granic od asymtot ukośnych, ale wolfram mówi, że ich nie ma.

	1
y' =		* cosx = ctgx
	sinx

dziedzina x∊R\{kπ} ctgx = 0

	π
x =		+ kπ
	2

ctgx > 0

	π
x ∊ (kπ,		+ kπ)
	2

ctgx < 0

	π
x∊ (		+ kπ, π + kπ)
	2

trzeba jeszcze zrobić część wspólną tych wyników z dziedziną naszej funkcji, na dole to zrobiłem.

	−1
y'' = (ctgx)' =
	sin2x

−1
	< 0
sin2x

zawsze Wnioski: Asymptoty poziome: prawostronna w x =2kπ lewostronna w x = π + 2kπ

	π
Więc mamy maksimum w punkcie x =		+ kπ
	2

	π		π
f(		+ kπ) = ln( sin(		+ kπ) = ln1 = 0
	2		2

	π
Funkcja rośnie x ∊ (2kπ,		+ 2kπ)
	2

	π
Funkcja maleje (		+ 2kπ, π + 2kπ)
	2

Funkcja jest ∩ w całej dziedzinie. Brak punktów przegięcia. Ale nie pytaj mnie, jak narysować tabelę, choć może to jest proste

john2: Poprawka: 1 wniosek asymptoty pionowe

Hugo: John bo myslalem ze tego nie ruszymy xd i juz nie poprawalem tam jes y=ln|sinx| ...mialem w zeszycie ne czytelnie i nie wiedzialem do konca ale mi powiedzieli no nic wielkie dzieki : ) rano jeszcze etrapeza przepisze

Hugo: ahoj

Hugo: y = x −2arctgx

	2
y' = 1 −
	x2+1

Hugo: Błagam o pomoc Badanie przebiegu zmienności funkcji y=ln|sinx|

Hugo: moze bedzie dst trzymajcie kciuki

daras: mierny ci wystarczy