Podprzestrzenie liniowe Karolina: Sprawdz czy podzbiory A={(a+b,a−b,a,b); a,b∊ℛ} B={(x₁,x₂,x₃,x₄); x₁+x₂=1+x₃+x₄} są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej ℛ⁴ Nie nie wiem się nawet za to zabrać. bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu Proszę

Karolina: pomożecie?

Karolina: nikt?

PW: To śmiertelnie nudne, trzeba rozłożyć zeszyt z definicją przestrzeni liniowej i sprawdzić po kolei wszystkie wymagania. Podprzestrzeń też musi być przestrzenią liniową. 1. dla A Niech w₁ = (a₁+b₁, a₁ − b₁, a₁, b₁), w₂ = (a₂+b₂, a₂ − b₂, a₂, b₂), w₁ = (a₃+b₃, a₃ − b₃, a₃, b₃), sprawdzamy łączność, czyli warunek w₁+(w₂+w₃) = (w₁+w₂)+w₃. Liczymy cierpliwie obie strony i sprawdzamy − są równe, czy nie. I tak dalej, wszystkie warunki definicji.

PW: Korekta w 4. wierszu od dołu: w₃ = ...

Karolina: Warunki znam, ale za bardzo nie umiem tego wykorzystać w praktyce. 1^o bierzemy dwa wektory α,β∊A i sprawdzamy α+β∊A 2^o bierzemy t∊ℛ i sprawdzamy tα∊A Ale nie wiem jak to zastosować do różnych przykładów. Proszę o pomoc

PW: Spojrzeć na to tak: elementy A są wektorami, w których: − trzecia i czwarta współrzędna to dowolne liczby, − pierwsza współrzędna to suma tych liczb, − druga współrzędna to różnica tych liczb. Chcesz sprawdzić, czy w₁ + w₂ należy do A − dodaj je i zobacz, czy spełnione są trzy wyżej wymienione warunki definiujące A.

Gray: Jedną z fundamentalnych własności każdej podprzestrzeni liniowej jest to, że musi zawierać wektor zerowy (z przestrzeni, której ma być podprzestrzenią). W przykładzie B jest to (0,0,0,0), które do B nie należy. To oznacza, że B nie jest podprzestrzenią. Przypadek A musisz sprawdzić tak jak napisałaś o 21:33 (dokładając trzeci warunek: 0∊A).