płaszczyzny Lukas: Znaleźć równanie normalne i parametryczne płaszczyzn a) przechodzących przez punkty P=(1,−1,0) Q=(2,3,7) R=(4,0,1) PQ=[1,4,7] PR=[3,1,1] −8x+20y−11z+28=0

Mila: PQ^→xPR^→=[−3,20,−11] Sprawdź i podaj jaki masz problem.

Lukas: Mi wyszło [−8 ,20,−11] I nie wiem jak parametryczne rówananie napisać

Mila: i j k i j 1 4 7 1 4 3 1 1 3 1 W=4i+21j+1k−1j−7i−12k=−3i+20j−11k Najpierw to ustalmy potem będzie dalsze rozwiązywanie.

Lukas: Już wiem gdzie sie walnąłem 4−7 =−3

Mila: No dobrze. π: −3x+20y−11z+23=0 równanie ogólne płaszczyzny P=(1,−1,0)∊π PQ=[1,4,7] PR=[3,1,1] x=1+1t+3s y=−1+4t+1s z=0+7t+1s równanie paraametryczne t,s∊R

Lukas: a jak napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A (−2,5,4) oraz zawierającej oś oz ?

Mila: Jeszcze nie masz normalnego równania tej płaszczyzny, napisałeś?

Lukas: Poprawię sobie w wolnej chwili, mało czasu mam więc chcę jak najwięcej zadań na forum zrobić ?

Mila: 2) Np. tak A=(−2,5,4) Wybierasz B∊osi OZ B=(0,0,4) AB^→[2,−5,0] Wektor kierunkowy osi OZ k^→=[0,0,1] n^→=k^→xAB^→[0,0,1]x[2,−5,0]=5i+2j=[5,2,0] wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny. Równanie płaszczyzny: Q: 5*(x+2)+2*(y−5)+0*(z−4)=0 5x+10+2y−10=0 5x+2y=0

Mila: Nie chodzi o poprawienie, lecz inny typ równania płaszczyzny. αx+βy+γz+δ=0 , gdzie α,β,γ to kosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny.

Lukas: Tego nie znałem, mogę jeszcze jakieś zadania wrzucić ?

Lukas: 8. Wyznaczyć punkt przecięcia: (a) prostej l : x = t, y = 1 − 2t, z = −3 + 2t (t ∈ R) oraz płaszczyzny π : 3x − y − 2z − 5 = 0;

Mila: Do zadania (1) Równanie normalne π: π: −3x+20y−11z+23=0 /*(−1) równanie ogólne płaszczyzny 3x−20y+11z−23=0 [3,−20,11] wektor prostopadły do płaszczyzny N=√3²+20²+11²=√530 współczynnik normalizujący

	3
α=
	√530

	−20
β=
	√530

	11
γ=
	√530

	−23
δ=
	√530

3		20		11		23
	*x−		y+		z−		=0równanie normalne płaszczyzny π.
√530		√530		√530		√530

Mila: 8) Podstawić do równania płaszczyzny, obliczyc t i wstawić do równania prostej, to otrzymasz punkt przebicia.

Lukas: Ok, dziękuję ślicznie

Mila:

Lukas: ostatnie Uzasadnić, że obrót na płaszczyźnie R 2 wokół początku układu współrzędnych o kat ϕ jest przekształceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych. (b) Pokazać, że symetria względem osi Oz w przestrzeni R3 jest przekształceniem liniowym. Znaleźć macierz tej symetrii w bazach standardowych.

Gray: Liczby zespolone miałeś? Jeżeli miałeś, to dowolny punkt (x,y) płaszczyzny R² możemy interpretować jako liczbę zespoloną x+iy. Obrót punktu (x,y) o kąt α, to to samo co zwiększenie argumentu liczby o kąt α. Taki efekt daje mnożenie liczb zespolonych (x+iy)(cosα+isinα) = (xcosα −ysinα)+i(xsinα+ycosα) Stąd, obrót o kąt α to odwzorowanie określone wzorem (x,y) → (xcosα −ysinα,xsinα+ycosα). Liniowość sprawdzasz albo z definicji, albo tak: (xcosα −ysinα,xsinα+ycosα) = A(x y)^T, gdzie A∊R^2x2 jest macierzą postaci: cosα −sinα sinα cosα a wiesz chyba, że odwzorowanie y→By jest liniowe, dla dowolnego y∊Rⁿ, oraz B∊R^kxn Punkt (b) − równie prosty (bez liczb zespolonych).

Gray: Ad (b). Punkt A(x₀,y₀,z₀) odbity symetrycznie względem osi Oz da punkt A'(x₁,y₁,z₀). Jakie związki łączą x₀ oraz y₀ z x₁ oraz y₁. Środek odcinka AA' leży na osi Oz, czyli x₀+x₁=0 oraz y₀+y₁=0. Stąd (x₁,y₁)=(−x₀,y₀). Całe odwzorowanie dane jest więc wzorem: (x,y,z) → (−x,−y,z) Liniowość wynika wprost z definicji, lub tak jak poprzednio, tj.: (−x,−y,z) = A(x y z)^T, gdzie A∊R^3x3 jest macierzą postaci: −1 0 0 0 −1 0 0 0 1