Bazy, podprzestrzenie - kilka pytań Intersleter: Dobry wieczór. Mam kilka pytań odnośnie baz i podprzestrzeni. Najpierw bazy. Uznajmy na to, że mam podane trzy lub cztery wektory i potrzebuję sprawdzić, czy tworzą bazę w danej przestrzeni (R3 lub R4) − odnosząc się do powyższych. By sprawdzić, czy są mogę sprawdzić liniową niezależność poprzez rząd? Jeśli niezależne, to tworzą, jeśli nie, to nie. Czytałem również o sposobie z wyznacznikiem. Jeśli =0, to wektory nie są niezależne. Mylę się?

Gray: Tak. Nie.

Intersleter: Dobrze. Dziękuję Ci. Teraz kolejne. Co w wypadku, gdy liczba wektorów nie jest równa stopniu przestrzeni? Dajmy na to, że mam dwa wektory, a przestrzeń R3 i potrzebuję sprawdzić, czy tworzą bazę. Cóż wtedy?

Gray: Jest prościej − nie tworzą bazy. Wymiar przestrzeni R³ to 3 i jest on równy liczbie elementów bazy właśnie. Ogólnie, jeżeli masz przestrzeń k−wymiarową i masz l wektorów z tej przestrzeni, to one mogą tworzyć bazę jedynie wtedy, gdy k=l. Wektory te tworzą jej bazę, jeżeli dodatkowo rząd macierzy utworzonej z tych wektorów jest równy właśnie k.

Intersleter: Odświeżenie.

Intersleter: Ops, nie odświeżyłem strony. Wybaczcie. Ktoś chciał mnie wprowadzić w błąd twierdząc inaczej. Dobrze więc. Dziekuję za olśnienie w tej kwestii. Teraz mam coś z przestrzenii. Sprawdzić, czy poniższy zbiór V jest podprzestrzenią liniową (R3, R, +, −) V={(x,y,z)∊R3 : x+y+z=x−y=0} x+y+z=x−y ∧ x−y=0 ⇒ x=y z=−2y Czyli w V byłoby coś takiego: (y,y,−2y) Podjąłem takie kroki: u=(x₁,y₁,z₁) ⇒ u=(y₁,y₁,−2y₁) v=(x₂,y₂,z₂) ⇒ v=(y₂,y₂,−2y₂) u+v=(y₁+y₂,y₁+y₂,−2y₁−2y₂)=(y₁+y₂,y₁+y₂,−2(y₁−y₂)) Tu sobie przyjmuję odpowiednio zmienną y₃=y₁+y₂ i mam u+v=(y₃,y₃,−2y₃) λu=(λy₁,λy₁,−2λy₁) − tu także przyjmuję sobie przykładowo y₄=λy₁ i mam: (y₄,y₄,−2y₄) To co tutaj wytworzyłem by sprawdzić, czy jest podprzestrzenią ma sens i taki sposób jest odpowiedni?

daras: pamiętam, ze jak była jakaś baza to była też nadbudowa..

Gray: Tak, dobrze zrobiłeś to zadanie. Dołóż prostą obserwację, że (0,0,0)∊V i będzie komplet.