odwzorwanie liniowe matixx122: M_{2*(ToT)−T+2i} = proszę o pomoc z odwzorowaniem. Wyznacz odwzorowanie odwrotne do odwzorowania liniowego T jeżeli: " i " to jest macierz jednostkowa. M_{2*(ToT)−T+2i} = macierzy pokazanej u góry przepraszam za brak umiejętności narysowania macierzy inaczej.

matixx122: ?

matixx122: ?

matixx122: ?

matixx122: ?

matixx122: ?

Gray: Co wiesz? Co mam do dyspozycji, aby rozwiązać to zadanie? Na razie nie mam pomysłu. Mam nadzieję, że − może z pomocą kogoś życzliwego − to się zmieni. "o" oznacza składanie odwzorowań, tak? * to zwykłe mnożenie? Ten zapis oznacza, że macierzą odwzorowanie 2T² − T +2I jest macierz z prawej strony? Szukamy T. Dobrze rozumiem?

matixx122: tak. wszystko się zgadza co napisałeś

matixx122: tak. wszystko się zgadza co napisałeś

matixx122: tak. wszystko się zgadza co napisałeś

Gray: Co wiesz? Macierze odwzorowania liniowego w różnych bazach były? Macierze przejścia? Bazy Jordana? Macierze Jordana? Nie wiem za co się chwycić

matixx122: niestety nie omawiałem żadnego zagadnienia z powyższych, chyba ,że pod inna nazwą

matixx122: jak pan może to poproszę obojętną wersje rozwiązania

Gray: Coś mi się przyśniło... Sposób rozwiązania jest zupełnie nieelementarny; zwłaszcza, że nie wiesz co to macierz Jordana. Może, jak w wielu przypadkach już było, ktoś po zobaczeniu tego rozwiązania wpadnie na inny pomysł. Po pierwsze, macierz która stoi z prawej strony oznaczę jako A, tj. M_2T²−T+2I=A. Oznacza to, że w pewnej bazie odwzorowanie liniowe 2T²−T+2I jest reprezentowane przez macierz A. W tej bazie, jeżeli odwzorowanie T jest reprezentowane przez macierz T (oznaczam tak samo, aby nie mnożyć oznaczeń), to macierz ta spełnia równanie: 2T²−T+2I=A. Poszukujemy macierzy T. Mamy:

	1		15		1		1		15
2T2−T+2I = 2(T−		I)2 +		I =A ⇔ (T−		I)2 =		A −		I,
	4		8		4		2		16

gdzie macierz z prawej strony znamy.

	1		1		15
Oznaczając na chwilę macierz T−		I jako B, mamy B2 =		A −		I.
	4		2		16

	1		15
Macierz		A −		I ma trzy dodatnie wartości własne (obliczyłem je numerycznie):
	2		16

	1		15
λ1≈4, λ2≈0,3, λ3≈1,3. To oznacza, że macierz		A −		I możemy zapisać w postaci
	2		16

1		15
	A −		I = P* diag(λ1,λ2,λ3)*P−1,
2		16

gdzie diag(λ₁,λ₂,λ₃) to macierz diagonalna z elementami λ₁,λ₂,λ₃ na przekątnej, P to macierz, której kolejne kolumny to wektory własne odpowiadające wartościom własnym λ₁,λ₂,λ₃ (to jest fragment teorii Jordana). Poszukujemy więc macierzy B spełniającej równanie: B²=P* diag(λ₁,λ₂,λ₃)*P⁻¹. Łatwo zauważyć, że macierz taka nie musi być wyznaczona jednoznacznie, a jedną z takich macierzy to B=P*diag(√λ₁,√λ₂,√λ₃)P⁻¹. Sprawdzenie: B²=P*diag(√λ₁,√λ₂,√λ₃)P⁻¹ P*diag(√λ₁,√λ₂,√λ₃)P⁻¹= =P*diag(√λ₁,√λ₂,√λ₃)diag(√λ₁,√λ₂,√λ₃)P⁻¹ =

	1		15
=P*diag(λ1,λ2,λ3)P−1 =		A −		I
	2		16

Pozostałe macierze B mogą być postaci P*diag(±√λ₁,±√λ₂,±√λ₃)P⁻¹, gdzie znaki ± mogą być dowolnie rozłożone. Widać, że macierz ta jest dobrze określona, gdyż λ₁>0,λ₂>0,λ₃>0. Powracając do podstawienia mamy:

	1
T−		I = P*diag(λ1,λ2,λ3)P−1 skąd ostatecznie:
	4

	1
T=P*diag(λ1,λ2,λ3)P−1 +		I =P*diag(λ1,λ2,λ3)P−1 + P*diag(1/4,1/4,1/4)P−1=
	4

=P*diag(4,25; 0,55; 1,55)P⁻¹ To koniec. Ewentualnie można jeszcze taki komentarz dołożyć. Wynika stąd, że istnieje baza przestrzeni R³, w której odwzorowanie T jest reprezentowane przez macierz diagonalną z elementami 4,25; 0,55; 1,55 na przekątnej. Wówczas macierz T⁻¹ jest macierzą diagonalną z elementami 1/4,25; 1/0,55;1/ 1,55 na przekątnej.

Gray: Jeszcze jedno. Jeżeli dowiesz się jak w elementarny sposób rozwiązać to zadanie, koniecznie przedstaw je tu. Jestem bardzo ciekawy innej metody (jestem przekonany, że da się to rozwiązać bez macierzy Jordana − i oczywiście bez rozwiązywania nieliniowych układów równań wynikających z podstawienia pod T macierz 3x3 o 9 niewiadomych i rozwiązanie stosownego równania wynikającego z treści. Nawet o tym nie pisałem). Z drugiej strony, brak jednoznaczności rozwiązania może sugerować, że nie będzie aż tak łatwo jak się spodziewam...

matixx122: jestem w szoku