zadanie 22. z ciągów, pdr. p. Romanowskiej. Szymon: Wykaż, że jeżeli ciągi (a_n) i (b_n) są dowolnymi ciągami geometrycznymi o wyrazach dodatnich i lim i lim_n→∞ a_n

Szymon: Wykaż, że jeżeli ciągi (a_n) i (b_n) są dowolnymi ciągami geometrycznymi o wyrazach dodatnich i lim i lim_n→∞ a_n =0 ⋀ lim i lim_n→∞ b_n =0, to ciąg określony wzorem c_n=log₂(a_n*b_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Godzio: a_n = a₁q₁ⁿ 0 < q₁ < 1 b_n = b₁q₂ⁿ 0 < q₂ < 1 log₂(a_nb_n) = log₂(a₁b₁ * (q₁q₂)ⁿ) = log₂(a₁a₂) + log₂(q₁q₂)ⁿ = = n * log₂(q₁q₂) + log₂(a₁a₂) c_{n + 1} − c_n = = (n+1) * log₂(q₁q₂) + log₂(a₁a₂) − n * log₂(q₁q₂) − log₂(a₁a₂) =c = log₂(q₁q₂) = r Stąd c_n jest ciągiem arytmetycznym.

Szymon: dziękuję bardzo