Algebra R^3 jakubs: Wyznaczyć rzut prostokątny wektora u=[−1,2,3] na wektor v=[2,3,1]

	−2+6+3		7√14
a=		*[2,3,1]=		*[2,3,1]=[√14,3√142,√142]
	√4+9+1		14

OK ?

jakubs: .

Gray: Podzieliłby jeszcze całość przez √14.

jakubs: Nie rozumiem Gray tego co napisałeś. Jak podzielić całość przez √14 ?

Gray:

	1
Ostatni wektor mnożysz przez		→ [1, 3/2, 1/2].
	√14

Teraz powinno być OK. Sprawdź, czy a−u⊥v. Jeżeli tak, to jest OK, jeżeli nie to nie.

jakubs: Co oznacza ten zapis a−u⊥v ? i co to jest "⊥" ?

jakubs: Kolejne zadanie: Wyznaczyć rzut prostokątny wektora u[1,5,2] na płaszczyznę rozpiętą przez dwa prostopadłe wektory v₁=[1,1,1] i v₂=[−1,0,1] . Jak wyznaczyć tę płaszczyznę ?

AS: Spróbuję. Obieram dowolny punkt np. A(1,2,3) Punkt B(1+1,2+1,3+1) = B(2,3,4) Punkt C(1 −1,2+0,3+1) = C(0,2,4) Mam już trzy punkty,więc można określić równanie płaszczyzny.

Gray: a−u⊥v oznacza, że a−u jest prostopadłe do v (tj. iloczyn skalarny a−u i v ma być zero). Taka jest definicja rzutu wektora u na kierunek wektora v (tj. a jest rzutem u na v jeżeli a−u⊥v).

Gray: Do zadania z 15:47, aby wyznaczyć rzut na płaszczyznę, nie potrzeba równania płaszczyzny. Stosujesz ten sam wzór co z godz. 14:37.

Gray: Dwa kroki do rozwiązania: a) wektory v₁ i v₂ dzielimy przez ich długość otrzymując:

	1		1
w1 =		[1,1,1], w2=		[−1,0,1]
	√3		√2

b) wyliczamy poszukiwany rzut:

	8		1		3		1
u* = (w1ou)w1+(w2ou)w2 =				[1,1,1] −				[−1,0,1] =
	√3		√3		√2		√2

	1
= [8/3, 8/3, 8/3 ] − [−3/2, 0, 3/2] = [(16+9)/6, 8/3, (16 − 9)/6] =		[25, 16, 7] ←
	6

odpowiedź.

jakubs: Przepraszam, że dzisiaj dopiero odpisuję. Dziękuję Gray.

jakubs: Mam napisać równanie płaszczyzny πi dane mam: Dwa punkty P₁=(1,5,−1), P₂=(0,1,2) i płaszczyznę π₁: x+y−z+1=0, π⊥π₁ Jak się za to zabrać ?

Gray: Czym jest wektor normalny płaszczyzny π₁ dla płaszczyzny π?

jakubs: Wektorem równoległym.

jakubs: Jeszcze mam problem z takim układem:

x−1		z
	=y+1=
2		3

2x+y+2z−7=0

Gray: Pierwsze to równanie prostej drugie, płaszczyzny. Podstawi pierwsze do drugiego, np. tak

	x−1		z
t=		= y+1 =		⇒ x = 2t+1, y = t−1, z=3t
	2		3

I z równania płaszczyzny:

	6
2(2t+1) + t−1 + 6t − 7=0 ⇔ 11t = 6 ⇒ t=		⇒ x=..., y=..., z=...
	11

jakubs: Nie wpadłbym na taki pomysł. Dziękuję !

Mila: Jaki macie wynik z 19:57?

jakubs: Milu nie mam wyniku do tego zadanka.

Gray: Cześć Mila. Ja nie liczyłem.

Mila: Cześć. Podobają mi się te zadanka.

Mila: Witam ciepło. Podobają mi się te zadanka.

jakubs: Mi się nie podobają, ale jutro kolosa mam i muszę to ogarnąć. Nie wiem dlaczego algebra jest dla mnie dużo trudniejsza niż analiza. Ogólnie nie lubię tego przedmiotu

Gray: Stwierdziłem, że skoro jakubs zmienił temat, to porzucił to zadanie.

jakubs: Gray nie zauważyłem, że odpisałeś i robiłem zadanka dalej, bo czasu mało, a zadanek jeszcze mi kilka zostało.

jakubs: Jak wyznaczyć wektor kierunkowy takiej prostej : y=0 z=−1

Gray: Do zadania z 19:57: wektor [1,1,−1] → (normalny π₁) równoległy do π wektor P₂P₁ = [1, 4, −3] → równoległy do π Iloczyn wektorowy tych wektorów da wektor prostopadły do π. Wtedy będziesz miał już wszystko by wyznaczyć równanie tej płaszczyzny.

Gray: x=t; y=0, z=−1 ⇒ v=[1,0,0]

jakubs: Jeszcze 3 zadanka mi zostały, później się wrócę do tego z 19;57.

jakubs: a takiej: x+y=2 z=1 Punkty: (1,1,1); (2,0,1) v=[2−1,0−1,1−1]=[1,−1,0] ok ?

Mila: 23:03 Ja tak: x=t ( x przyjmuję jako parametr.) t+y=2⇔y=2−t Równanie parametryczne prostej x=t y=2−t z=1+0t, t∊R k^→[1,−1,0]

x−0		y−2		z−1
	=		=		równanie kierunkowe prostej.
1		−1		0

jakubs: Dziękuję Pani !

Mila: Takie odpowiedzi?

jakubs: Odpowiedzi nie mam, bo to są "magiczne" zadanka od prowadzącej.

Gray: A zero w mianowniku?

Mila: Gray, tak pisano dawniej .

Gray: Mila, co to dla Ciebie "dawniej"? Śmiem sądzić, że Twoje "dawno", to moje "wczoraj" Mnie zero w mianowniku nie przeszkadza, ale w matematyce sensu to dużego nie ma. Postać kierunkowa ma swej założenia.

Mila: To spalę książkę z której tak się nauczyłam .Też mi się to nie podoba. Pozdrawiam Gray < kwiatek>.

Mila:

Gray: Nie pal książek. Kiedyś, może będziesz miała dzieci (może już masz?), a one swoje dzieci i może zapytają: − Mamo (babciu), bo widziałam na Twojej półce coś takiego dziwnego. Nie wiem gdzie to się włącza... Nie wiem, gdzie to ma ekran. Jakieś takie dziwne. Co to jest? A Ty z rozrzewnieniem odpowiesz: − Jak ja byłam w twoim wieku, to nie było.... To może wydać Ci się niewiarygodne, ale wtedy każdy umiał czytać... I pisać. Pisaliśmy długopisami. To były takie druciki z których wylatywał kolorowy płyn. A to co mam na półce, to książka... Powinnam gdzieś mieć taką wyjątkową, w której dzielono przez zero. Wiesz co to zero?... Pozdrowienia

Mila:

jakubs: Mam dwa równania płaszczyzn z parametrem a. I zadanko: Dla jakich wartości parametru a, te dwie proste są prostopadłe ? Wyznaczam wektory normalne tych płaszczyzn, a później iloczyn skalarny tych wektorów przyrównuje do zera tak ?

kyrtap: si

jakubs: Danke

jakubs: Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(2, 2, −2) i równoległej do płaszczyzny − 2x + 4y + 6z − 4 = 0 a=−2 b=4 c=6 − 2x + 4y + 6z +D = 0 −4+8−12+D=0 −8+D=0 D=8 odp: − 2x + 4y + 6z + 8 = 0 Etrapez mówi: − 2x + 4y + 6z − 4 = 0 Co robię źle ?

kyrtap: błąd w etrapezie

jakubs: Ok dzięki, a takie zadanie: Znaleźc równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(−1, −1, 2) i prostopadłej do płaszczyzn 2x − 4y + 2z − 7 = 0 i x + 2y − 2z + 15 = 0 n=[2,−4,2] n₁=[1,2,−2] Ax+By+Cz+D=0

⎧	2A−4B+2C=0
⎨
⎩	A+2B−2C=0

Jak to dalej ogarnąć jak mam taki układ ?

kyrtap: może inaczej troszkę to zrób, odczytaj wektory normalne obu płaszczyzn : n₁^→ =[2,−4,2] oraz n₂^→ = [1,2,−2] skoro płaszczyzna ma być prostopadła do nich zatem jej wektor normalny musi być prostopadły do dwóch wektorów normalnych (n1, n2) czyli liczysz iloczyn wektorowy n1 x n2 masz szukany wektor normalny płaszczyzny prostopadłej i masz punkt przez który przechodzi płaszczyzna , zatem możesz napisać szukane równanie płaszczyzny

jakubs: W sumie.. Dzięki

kyrtap:

jakubs: Oblicz odległośc punktu A od płaszczyzny p , jeśli: a) A( 5,1, − 1) π : 2x − 4y − 4z + 4 = 0

	|10−4+4+4|		14
d=		=
	√4+16+16		6

etrapez twierdzi, że 3.

kyrtap: błąd w etrapezie

jakubs: No co ten Krystian. Już zwątpiłem w swoje możliwości. Dzięki

kyrtap: może popił trochę w tym dniu zdarza się każdemu