różnice między dwoma równaniami różniczkowymi Gerwazy: czym się różnią te 2 równania różniczkowe: 1. y' + 2y = −2ty² 2. y' − 2ty = 2t³y² Oba równania są równaniami różniczkowymi Bernoulliego. Oba są nieliniowe i niejednorodne. Jednak pierwsze rozwiązuje się szybciej, wystarczy zrobić podstawienie i policzyć równanie o zmiennych rozdzielonych, z kolei w drugim po obustronnym scałkowaniu równania o zmiennych rozdzielonych trzeba jeszcze zastosować metodę uzmiennienia stałej. Z czego to wynika?

Eve: jesli w 1 wstawisz warunek początkowy otrzymasz stałą równą liczbie, w 2 natomiast stała będzie funkcją zmiennej t

Gerwazy: Dalej nie do końca jest do dla mnie zrozumiałe. Czy ta różnica nie wynika aby z tego że w drugim przypadku muszę policzyć najpierw rozwiązanie równania jednorodnego a w pierwszym nie muszę?

Eve: no tak, przedstawiłam ci różnicę w otrzymanych rozwiązaniach

Gerwazy: To teraz jak rozpoznać kiedy można rozwiązać równanie szybciej, tj. bez stosowania uzmienniania stałej − czy chodzi o postać niejednorodności? (−2t w równaniu 1 a 2t³ w równaniu 2)

Eve: tak, ja to robiłam na wyczucie, po rozwiązaniu widać, kiedy trzeba uzmienniać, a kiedy nie

Gerwazy: zaraz zaraz, napisałaś że po rozwiązaniu widać kiedy trzeba uzmienniać, rozwiązanie = niejednorodność? zaczynam się gubić.

Eve: nie wiem czy mozna to 1 rozwiązać zmiennymi rozdzielonymi, to nie ta postać, sprawdziłeś czy w obu sposobach dostaniesz ten sam wynik?

Gerwazy: właśnie sprawdzam

Eve: y'=a(t)y+b(t), jesli b(t)=0, to mamy równanie jednorodne i nic ze stała nie robimy i w 1 tak jest b(t) jest stałą=2, nie zależy od t

Eve: poszperałam, posprawdzałam strasznie mnie to nurtowało nawet znalazłam rozwiązane 2

Gerwazy: pierwsze równanie da się rozwiązać na 2 sposoby, wynik wychodzi tak sam. W sumie to w obu sposobach sprowadza się do zmiennych rozdzielonych ale w innej kolejności. W jednym sposobie po sprowadzeniu do równania liniowego robi się jeszcze jedno podstawienie i potem ze zmiennych rozdzielonych. W drugim sposobie po sprowadzeniu do równania liniowego oblicza się rozwiązanie dla równania niejednorodnego które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, następnie uzmiennia się stałą. Dalej jednak nie rozumiem jak rozpoznawać którym spobem liczyć

Eve: no to ci napisałam, jesli przy y współczynnik nie zależy od t, to można od razu stosować zmienne rozdzielone

Gerwazy: czyli chodzi o 2y w pierwszym równaniu i −2ty w drugim?

Eve: tak, inaczej nie potrafie tego wytłumaczyć, nie znalazłam równania Bernoulliego bez tego t

Gerwazy: chyba jednak nie jest tak jak piszesz, równania y'−2y=2t³y² nie da się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych

Eve: ale jeśli zrobisz podstawienie, to takie uzyskasz, w drugim juz nie

Gerwazy: y'−2y=2t³y² / :y²

y'		2
	i		=2t3
y2		y

	1
z=
	y

	y'
z'=−
	y2

z'=−2(z+t³) podstawienie : u=z+t³ po czym wychodzi:

	du
2u+		=2t2 i to nie jest równanie o zmiennych rozdzielonych
	dt

coś robię źle?

Eve: a to jak go rozwiązałeś zmiennymi rozdzielonymi?

Gerwazy: nie rozwiązałem, to jest zmenione równanie 2 z pierwszego postu, zamiast −2ty jest −2y

Eve: podsumowując nasze rozważania, jeśli po podstawieniu otrzymasz równanie, które da sie rozwiązac zmiennymi rozdzielonymi, to mozna, jeśli nie, to ciągniesz dalej uzmienniając stałą czyli zaczynasz od podstawienia tak czy siak i potem sprawdzasz inaczej juz nie potrafie ci pomóc, nie spotkałam się z takim przykładem

Gerwazy: Z tego co ja zauważyłem to dla równania różniczkowego Bernoulliego z funkcją y(t), żeby można było to równanie rozwiązać bez uzmienniania stałej, zmienna t może stać tylko przy niejednorodności i nie może być podniesiona do żadnej potęgi, musi to być po prostu t, czyli tak jak w równaniu 1. y' + 2y = −2ty².

Eve: no i słusznie zauważyłeś, pisałam o tym gdzieś, ty drążyłeś i oboje się zaplataliśmy, więc sprawa wyjaśniona