udowodnij
nie rozumien jak : wykaz ze jesli a∊R I b ∊R, to a 2 +ab+b2 ≥0
9 sty 18:19
Eve: a2+b+ab=(a+b)2−2ab+ab
wywnioskuj redukując
9 sty 19:02
PW: Teza:
a
2 + ab + b
2 ≥ 0.
Dowód. Jeżeli a = b, to teza jest oczywista (lewa strona jest sumą nieujemnego ab i nieujemnych
kwadratów).
Dla a ≠ b prawdziwy jest wzór
a
3 − b
3 = (a − b) (a
2 + ab + b
2),
skąd po podzieleniu przez (a − b) ≠ 0
| | a3 − b3 | |
(1) |
| = a2 + ab + b2. |
| | a − b | |
Zarówno dla a > b jak i dla a < b lewa strona (1) jest dodatnia jako iloraz liczb tego samego
znaku, wobec czego prawa strona (1) jest też dodatnia.
To kończy dowód.
9 sty 21:56
Mila:
Ładny dowód.
9 sty 22:00
Eve: czyli, że ja coś pominęłam?
9 sty 22:02
PW: Eve, ja po prostu nie wiedziałem co dalej z Twoją propozycją zrobić, dlatego napisałem
inną.
9 sty 22:09
Bogdan:
Jeśli potraktujemy wyrażenie a2 + ba + b2 dla a, b∊R jak zwykły trójmian kwadratowy, to:
Δ = b2 − 4b2 < 0 więc ...
9 sty 22:10
Eve: myślałam tak: (a+b)2−ab≥0
(a+b)2≥ab
i to zachodzi dla wszystkich a,b? czy sie mylę
9 sty 22:11
niechciany: a skąd wiesz, że (a+b)2 ≥ ab zachodzi dla dowolnie wybranych rzeczywistych a i b ?
9 sty 22:41