Kombinatoryka Frost: Ile jest liczb ośmiocyfrowych, w których zapisie 0 występuje 5 razy, a pozostałe cyfry są nieparzyste? Wychodzi mi 2625 a odpowiedź w książce jest 2626

Frost: Robiłem tak:

7 5
	*5*5*5

Zero nie może być na początku więc wybieramy z 7 miejsc, występuje 5 razy więc na pozostałych trzech miejscach może wystąpić cyfra: 1,3,5,7,9 czyli 5³

Mila: Dobrze.

Frost: Okey, musze się prawdopodobieństwa i kombinatoryki do 31 stycznia nauczyć bo II etap AGH czeka

Mila: Walka o diamentowy indeks?

Frost: Tak, chciałem spróbować swoich sił z matematyki ( 99 ptk I etap) i fizyki (90 ptk). Próbuje zrozumieć prawdopodobieństwo bo to 20 ptk na konkursie. Analizuje obecnie tego typu zadanie: Ile jest liczb sześciocyfrowych których zapisie cyfry tworzą ciąg rosnący? Odpowiedź to

9 6
	lecz nie rozumiem jej, tzn na logikę rozpisałem sobie możliwości i można tak dojść do

wyniku

	9 6
ale nie rozumiem zapisu

Frost:

9 6
	z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8,9 wybieramy 6, dzięki temu wzorowi obliczami liczbe możliwości

tego wyboru ale czy gwarantuje to nam, już warunki zadania? ( zapis tworzy ciąg rosnący)

Frost: obliczamy*

Mila: Symbol Newtona, nie miałeś jeszcze prawdopodobieństwa?

9 6		9!
	=
		6!*(9−6)!

{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ze zbioru cyfr wybieramy 6 cyfr, nie może się liczba zaczynać zerem. Gdyby chodziło ciąg malejący, wybierałbyś z 10. Nie wiem ,czy o to Ci chodzi. Pytaj dalej, to spróbuję wyjaśnic.

Frost: Próbowałem coś napisać ale zrozumiałem Kolejne zadanie: Ile jest liczb pięciocyfrowych w których zapisie występuje cyfra 7 i cyfry tworzą ciąg rosnący? Robiłem to na dwa przypadki: 1) 7 występuje w rzędzie jedności

6 4
	*1

2) 7 występuje w rzędzie dziesiątek

6 3
	* 2 możliwości ( na miejscu jedności występuje 8 lub 9 )

3) 7 występuje w rzędzie setek

6 2
	jedna możliwość ( cyfra dziesiątek 8 cyfra jedności 9)

należy zsumować te wszystkie rozwiązania. Wychodzi dobra odpowiedź ale w odpowiedzi mam wzór podany:

8 4
	moje obliczenia sprowadzają się do tego wzoru czy interpretacja tego wzoru

jest inna?

Mila: Wyjaśnię na prostym przykładzie. Jeżeli masz zbiór {2,3,4,5} Tworzymy ciągi trzywyrazowe o różnych cyfrach. 4*3*2=24 na tyle sposobów możesz utworzyc różne ciągi ( ważna kolejność) np.z cyfr:{2,3,5} będzie 6 różnych ciągów (3!) (2,3,5),(2,5,3) (3,2,5),(3,5,2),(5,3,2), (5,2,3) (2,3,4) .........................6 ciagów (3,4,5)..........................6 ciągów (2,4,5)..........................6 ciagów W każdym zestawie jest jeden ciąg rosnący i jeden malejący. Zatem stosujemy kombinacje, ( nieistotny porządek)

4 3
	=4 tyle jest ciągów rosnących trzywyrazowych utworzonych z cyfr {2,3,4,5}

Mila: Ja rozwiązałabym Twoim sposobem. Dalej skorzystano 3 razy z wzoru:

n k		n k+1		n+1 k+1
	+		=

Dasz radę dojść do tego.

Frost:

	4 3
Analogicznie do Twojego przykładu		=4 tyle jest ciągów malejących.

Do podanego przykładu przez Ciebie: Ile jest ciągów rosnących trzywyrazowych utworzonych z cyfr {2,3,4,5} w których występuje cyfra 4? Jeżeli występuje cyfra 4 więc będzie ona drugim wyrazem ciągu (x,4,y). y=5 a x=2 lub 3 więc liczba możliwości to 2? ( 2,4,5 i 3,4,5) ale ten sposób będzie żmudny dla większych zbiorów np. z liczb {1,2,3...20} wybieramy 5 liczb które tworzą ciąg rosnący oraz w tym ciągu występuje liczba 11. Ile jest takich możliwości? Jak takie zadanie zapisać symbolem Newtona?

	20 5
Wszystkich ciągów rosnących jest		. Możemy rozpisywać to zadanie moją metodą z

godz 18:12 ale zajmie nam to dużo czasu. Jak zrobić to krócej?

Mila: A masz takie zadanie, czy wymyśliłeś?

Mila:

19 4

Frost: Wymyśliłem już doszedłem do rozwiązania. to co napisałeś o godzinie 18;22 pomoglo, z 19 pozostałych liczb wybieramy 4 które wraz z liczbą 11 utworzą jeden ciąg rosnący. Na dzisiaj tyle dam znać jutro

Mila: "Napisałaś."

Frost: Tak wiem, przepraszam