Trudne zadania Blue: Mam trzy zadanka, do których niby mam klucz, ale jakoś tak jest wszystko w nim lakonicznie powiedziane, że nie rozumiem.... Mógłby ktoś te zadania dokładnie, krok po kroku omówić? zad.1 Oblicz, ile jest liczb dwunastocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3 i takich, że każde dwie cyfry różnią się o 1. zad.2 Dla jakich wartości parametru a iloczyn różnych miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f(x) = log₃²x −(a²−a)log₃x +1−a jest równy 9 zad.3 W kulę wpisano stożek. Wykaż, że objętość stożka V_s i objętość kuli V_k spełniają

	8
warunek Vs≤		Vk
	27

Kacper: W 1 taka dokładnie jest treść? Coś chyba nie tak

Kacper: Dla tak podanej treści odpowiedź brzmi 0.

Blue: 1. *że każde dwie sąsiednie cyfry różnią się o 1

Kacper: To teraz można liczyć. Jak zaczniemy od 1 lub 3 to następną liczbą jest 2, potem znowu 1 lub 3 i tak do końca. Razem 64 liczby (2*2*2*2*2*2) Analogicznie jeśli pierwsza jest cyfra 2 Wszystkich takich liczb jest 128.

Blue: To wcale nie jest takie trudne, jak myślałam Dziękuję

Blue: Mógłby jeszcze ktoś wyjaśnić te dwa zadanka? Bardzo proszę

===: zad.2 ... to bardzo fajne zadanko −

Blue: Fajne, niefajne, lecz czeka na rozwiązanie

Blue: Nie rozumiem tego w kluczu: przekształcenie warunku x₁*x₂ =9 na warunek t₁+t₂=2... o co chodzi?

Maslanek: 2. Nie da się tego rozwiązać po prostu po macoszemu? Niech t=logx; x>0 Dostajemy równanie t²−(a²−a)t+(1−a)=0; t∊R Wiemy, że ma ono dwa rozwiązania, których iloczyn t₁*t₂=9?

Maslanek: Aha Inna opcja Zauważmy, że mają istnieć dwa rozwiązania równania f(x)=0 określonego dla x>0. Są one postaci x₁=3^t₁ i x₂=3^t₂ Funkcja ta jest różnowartościowa, więc jeśli tylko x₁≠x₂, to t₁≠t₂ Mamy wtedy: 3^t₁*3^t₂=3^t₁+t₂=9 ⇒ t₁+t₂=2 I korzystając ze wzoru Viete'a dla równania f(x)=0 mamy:

	a2−a
2=t1+t2=
	1

Maslanek: Hm... przegiąłem Tego sotatniego nie było

	1−a
9=3t1*3t2=3t1+t2=		=1−a
	1

Stąd a=−8.

Mila: x₁*x₂=9 z założenia t₁=log₃x₁ t₂=log₃x₂ t₁+t₂=log₃x₁+log₃x₂=log₃(x₁*x₂)=log₃9=2 ⇔ t₁+t₂=2⇔a²−a=2

Maslanek: Dla zadania 3. musisz chyba pobawić się z kątem rozwarcia

Maslanek: Okej... Zwątpiłem Co jest nie tak z moim rozwiązaniem?

Blue: A więc to tak Dzięki !

Maslanek: Dobra już wiem. Stosuję wzory Viete'a do równania z logarytmami, które wcale nie jest wielomianem x

Blue: Czyli wyjdą rozwiązania a=−1 i a=2 , ale odrzucamy −1, bo...?

Blue: Bo delta byłaby ujemna, czy tak?

Maslanek: Dla a=−1 nie ma rozwiązań rzeczywistych Podstawić do wzoru funkcji i mamy f(x)=(logx+1)²+1

Blue: W 3 w kluczu jest coś takiego r²=h(2R−h)...

Maslanek: A co oznaczają przez h?

Maslanek: Pewnie odległość od czubka kuli do podstawy stożka Narysuj kąt przy podstawie − jaką ma wartość? Następnie jeżeli narysujesz trójkąt o bokach 2R, l, x (x to punkt łączący punkt wspólny kuli i podstawy stożka z tym punktem kuli, na który opada wysokość stożka), to jest on prostokątny. Jaki wniosek?

Blue: h− wysokość stożka

Blue: zw i się nad tym zastanowię, muszę się umyć

Blue: już jestem Maślanek, czyli l²= r²+h², x²= (2R−h)²+r² no i podstawiamy do x² +l²= (2R)²?

Blue: Maślanek dalej sobie poradzę, bo z pochodnej każą liczyć Na początku nie mogłam wpaść skąd oni ten promień wytrzasnęli Dzięki za pomoc

Mila: Rozwiązaliście?

Blue: Ja tak

Mila: To w porządku.

Eta: zad3/ Stożek wpisany w kulę ma największą objętość jeżeli przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 2r

	1
wtedy Hst= r√3 to Vmaxstożka =		πr3√3
	3

	2		4		8
R(kuli) =		r√3 to Vk=		πr3√3*
	3		3		27

	8
zatem Vst≤		Vk
	27